خصائص الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية

كان من الصعب قياس بعض الأطوال بالطرق البدائية أو قياسها من خلال الأعداد الكسرية أو الصحيحة؛ لأن الناتج يكون عدد غير كسري، ويمكن تصورها على أنها أعداد غير منتهية، التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد، من هنا جاءت فكرة الأعداد الطبيعية.

ماهية الأعداد الحقيقية

هي مجموعة من الأعداد نسبية وغير النسبية، وتشمل الأعداد الصحيحة والكسور المتحدة مع بعضها البعض بشكل غير متناهي، إحدى الخصائص المميزة للأعداد الحقيقية أنه يمكن تمثيلها على خط الأعداد في خط أفقي والنقطة المركزية أوالأصل، هي صفر، إلى اليمين جميع الأعداد الموجبة، وإلى اليسار الأعداد السالبة. الأعداد الحقيقية لا نهاية لها سواء في الأعداد الموجبة أوالسالبة، وتستخدم في العمليات الحسابية (الجمع، الطرح، الضرب والقسمة)، وسُميت بالحقيقية؛ لأنها ليست وهمية .

 أشكال الأعداد الحقيقية

• الأعداد الطبيعية: هي مجموعة الأعداد التي تقع بين الصفر واللانهاية من الأعداد الموجبة، والعدد الموجب هو العدد الذي على يمينه إشارة (+) أو يكون بدون إشارة، مثلًا (…….,1,2,3,4,5).
• الأعداد الكلية: هي الأعداد الطبيعية، بالإضافة إلى الصفر، (……,0,1,2,3,4,5).
•  الأعداد الصحيحة: هي الأعداد التي تقع ما بين اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة مرورًا بالعدد صفر؛ فهي تشمل الأعداد الموجبة أو السالبة والصفر، والعدد السالب هو الذي على يمينه إشارة (-)، إذن هي الأعداد الكلية + الصفر.
•  الأعداد النسبية: هي كل عدد مكوّن من بسط ومقام مشروطة بأن لا يكون المقام فيها يساوي صفر.
• الأعداد غير النسبية: هي الأعداد التي لا نهاية لها وليست دورية، وهي التي لا يوجد لها جذور على شكل عدد طبيعي، مثل الجذر التكعيبي 3.

ما هي خصائص الأعداد الحقيقية

يتم استخدام الخصائص الأساسية للأعداد الحقيقية؛ لتحديد الترتيب الذي يمكنك من خلاله تبسيط الرياضيات، الخصائص الأساسية للأعداد الحقيقية تشمل ما يلي:

• الخاصيّة التبادليّة: إنّ ترتيب الأعداد الحقيقيّة في عمليّتي الضرب والجمع لا يغيّر النتيجة؛ لأن الجمع في علم الجبر عملية تبادليّة، بالتّالي لن تتغيّر النتيجة اذا تغيير ترتيب الأعداد، مثلا: 2+3=5، و3+2= 5أيضاً، ولا ينطبق هذا في عملية الطرح؛ لأن الناتج يتغير بحسب تغير ترتيب الأرقام؛ فمثلاً 3-2=1 و1-3=-2.
•  خاصيّة الإنغلاق: هي أن الأعداد الحقيقية منغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب، بمعنى أن ناتج هذه العمليات هوأيضًا عدد حقيقي، مثال: 5+4=9.
• الخاصيّة التجميعيّة: إن ترتيب الأعداد الحقيقيّة في عمليّة الجمع ضمن مجموعات لا تغير نتيجة الجمع، مثال: حاصل جمع (4+1)+3=8، كما أنّ 3+5=8 أيضاً، وأن حاصل الجمع يكون عدد حقيقي دائمًا بغض النظر عن كيفية ترتيب الأعداد.
• الخاصيّة التجميعيّة لعمليّة الضرب: تسمح بتجميع الأعداد بأيّ طريقة قبل القيام بعملية الضرب، مثلاً: (3×4)×5 = 3×(5×4)، النتيجة واحدة بكل الطرق وهي (60).
•  خاصيّة توزيع الضرب على الجمع: عندما يكون هناك عددين مجموعين والعدد الثالث مضروب بهما ، فمن الممكن جمع العددين ثمّ ضرب النتيجة بالعدد الثالث، أو ضرب العدد الثالث بكل عدد على حدا، ثمّ جمع النتيجة، مثال على ذلك: 2×(5+6)=(2×5)+(2×6)، و لا تنطبق هذه الخاصية على عمليتيّ الطرح والقسمة؛ لأنهما ليستا عمليتين تبديليتين أوتجميعتين؛ حيث إن ترتيب الأعداد مهم جداً في الناتج النهائي.
• خاصيّة الهويّة: هي أنّ ناتج جمع أي عدد حقيقي مع الصِفر يُساوي العدد نفسه دائماً؛ مثلا 0+3=3 و3+0=3.
• خاصيّة الجمع العكسيّ: وهي أنّ حاصل جمع أي عدد حقيقي موجب مع عدد حقيقي سالب يساوي صّفر؛ مثلاً 5+(-5)=0، كما أنّ (-5)+5=0.
• خاصيّة التّوزيع: تنطبق على عمليتيّ الجمع والضّرب، وهي أنه عند جمع عدد حقيقي بشكل متكرر، يكون حاصل الجمع بالرّمز (ن) مضروباً بالعدد المجموع؛ مثلاً: 2+2+2+2+2؛ إذن حاصل الجمع يساوي ن*2.

العمليات الحسابية الأساسية في الأعداد الحقيقية

• الجمع: بالنسبة للأعداد الحقيقية متماثلة الإشارة (موجبة أو سالبة)، هي عملية مباشرة وسهلة، جمع عددين موجبين تكون النتيجة موجبة، جمع عددين سالبين تكون النتيجة سالبة، عند جمع عدد موجب إلى عدد سالب تكون إشارة الناتج هي اشارة العدد الأكبر.
• الطرح: ما ينطبق على الجمع ينطبق على الطرح؛ فطرح رقمين موجبين (الأصغر يُطرح من الأكبر) ستكون الإجابة موجبة، لكن عند طرح (الأكبر من الأصغر) ستكون الإجابة سالبة مثل طرح 2-6=-4.
• الضرب والقسمة: في عمليتي الضرب والقسمة على الأعداد الحقيقية يجب التركيز على إشارة الناتج عن العملية، هناك قاعدة أساسية متبعة في تحديد الإشارة وهي أنّه إذا تماثلت إشارة الأعداد المضروبة أو المقسومة؛ فإنّ النتيجة تكون موجبة، أما في حال كانت إشارات الأعداد مختلفة(موجب مع سالب)؛ فإنّ الإشارة ستكون سالبة؛ مثلًا: 3 × -4 = – 12.