دليلك الشامل حول المصفوفات

تحتوي المصفوفات على العديد من العناصر التي يتمّ تمثيلها على شكل أعمدة وصفوف لمساعدتنا في حلّ الكثير من مسائل الرّياضيّات، كما أنّ هناك العديد من أنواع المصفوفات المُخصّصة للأنشطة الاقتصاديّة بالإضافة إلى أنشطتنا اليوميّة، ومنها: مصفوفة إدارة الوقت، ومصفوفة المخاطر، وتدخل المصفوفات كذلك في الكثير من لغات البرمجة لمساعدة المُختصّين في كتابة الكود بسهولة كبيرة، ويجدر الذّكر بأنّ المصفوفة تقبل العمليّات الحساببيّة المُختلفة بما فيها الضّرب والقسمة والطّرح والجمع.

يتحدّث هذا المقال عن المصفوفات، ويشمل:

• تعريف المصفوفات، وذكر أبرز خصائصها.
• الإشارة إلى أنواع المصفوفات المختلفة.
• بيان العديد من العمليّات الحسابيّة التي يُمكن إجراؤها على المصفوفات.
• ذكر طريقة استخدام المصفوفات في بعض لغات البرمجة المشهورة.
• تعريف أشهر أنواع المصفوفات المُتسخدمة في حياتنا اليوميّة.

ما هي المصفوفات ؟

تُعرف المصفوفات بأنّها مجموعة مستطيلة من الأعداد أو الرّموز أو التعبيرات الرياضيّة التي يتمّ ترتيبها على شكل أعمدة وصفوف، ويتمّ التعبير عن عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفات على الشّكل ع×ص، ويُعرف هذا التعبير باسم أبعاد المصفوفة أو رتبتها، ويشير الرّمز ع إلى عدد الأعمدة، في حين يشير الرّمز ص إلى عدد الصفوف.

خصائص المصفوفات

• يُمكن جمع المصفوفات مع بعضها البعض إذا كانت من نفس الرتبة فحسب.
• تكون المصفوفتين متساويتين إذا كانت من القياس نفسه، وكان كلّ عنصر من المصفوفة الأولى يساوي نظيره في المصفوفة الثانية.
• إنّ ناتج مجموع المصفوفة أ والمصفوفة ب يساوي ناتج مجموع المصفوفة ب والمجموعة أ إذا كانت المصفوفتين تتكوّن من أعداد حقيقيّة.
• نستطيع ضرب المصفوفة بعدد ثابت، ويكون الناتج مصفوفة بذات رتبة المصفوفة الاصليّة مع ضرب جميع العناصر بالعدد الثابت.
• إن ناتج ضرب المصفوفة أ بالمصفوفة ب لا يساوي ناتج ضرب المصفوفة ب بالمصفوفة أ على خلاف الجمع، وهذا يعني أنّها عمليّة غير تبادليّة.

أنواع المصفوفات

المصفوفة المربعة

تكون المصفوفة مربّعة إذا كان عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها، وتُعرف رتبتها برقم واحد فحسب يمثّل عدد الصفوف والأعمدة دون الحاجة إلى الرقم الآخر، وتُسمّى المصفوفة المربّعة باسم المصفوفة العدديّة عندما يكون جميع العناصر القطريّة فيها أعدادًا والعناصر الأخرى تساوي صفرًا.

مصفوفة الصف الواحد

يُطلق على المصفوفة اسم مصفوفة الصفّ الواحد عندما تتكوّن من عدّة عناصر في صفّ واحد فحسب، ويُشار إلى رتبتها بعدد العناصر، وتحتوي أبسط مصفوفات الصفّ الواحد على عنصر منفرد، ويقبل هذا النّوع من المصفوفات إجراء مختلف العمليّات الحسابيّة بما فيها الضّرب والقسمة والجمع والطّرح بعد استيفاء شروط كلّ واحدة منها.

مصفوفة العمود الواحد

تحتوي هذه المصفوفة على عمود واحد يضمّ جميع عناصرها؛ سواء كان عنصرًا واحدًا أو كانت عدّة عناصر، وهي تشبه مصفوفة الصفّ الواحد في السماح بإجراء جميع العمليّات الحسابيّة المعروفة من الضّرب والقسمة والجمع والطّرح بعد استيفاء الشروط.

المصفوفة الصفرية

تُسمّى المصفوفة بالمصفوفة الصفريّة عندما تساوي جميع عناصرها صفرًا دون النّظر إلى عدد صفوفها وأعمدتها؛ حيث يُمكن أن تكون مصفوفة العمود الواحد أو مصفوفة الصفّ الواحد أو تكون متعدّدة الصفوف والأعمدة، كما يُمكن أن تحتوي على عنصر واحد فحسب أيضًا.

المصفوفة القُطرية

تُعدّ المصفوفة القطريّة واحدة من المصفوفات المربّعة، إلّا أنّ جميع عناصرها تساوي صفرًا، باستثناء العناصر الواقعة ضمن القطر الرئيسيّ فحسب، كما أنّ من أشكالها المصفوفات المثلثة العليا والمصفوفات المثلّثة الدنيا أيضًا، وتنتمي مصفوفة الوحدة كذلك إلى المصفوفات القطريّة لكونها حالة خاصّة منها.

المصفوفة القياسية

إنّ المصفوفة القياسيّة حالة خاصّة من حالات المصفوفة القطريّة، وتتميّز هذه المصفوفة بتساوي جميع العناصر القطريّة فيها مع بعضها البعض في حين تكون قيمة جميع العناصر الأخرى صفرًا، ويشار إلى رتبتها بعدد الصفوف أو الأعمدة نتيجة لكونها من المصفوفات المربّعة أيضًا.

المصفوفة المثلثة السفلى

يُمكننا التعبير عن المصفوفات التي تحتوي على قِيَم صفريّة لجميع العناصر التي تقع فوق القطر الرئيسيّ باسم المصفوفة المثلّثة السُفلى، بينما تحتوي العناصر القطريّة والعناصر السُفلى على أرقام أخرى.

المصفوفة المثلثة العليا

تُعرف المصفوفة المثلّثة العليا بأنّها مصفوفة ذات قيمة صفريّة لجميع العناصر الواقعة تحت القطر الرئيسيّ، في حين يحتوي القطر والعناصر العلويّة على قيم أخرى، وهذا يعني أنّها على العكس من المصفوفة المثلّثة السّفلى.

مصفوفة الوحدة

إنّ مصفوفة الوحدة إحدى المصفوفات المربّعة، ولكنّها تتميّز بالقيمة الصفريّة لجميع العناصر، باستثناء العناصر الواقعة ضمن القطر الرئيسيّ؛ حيث تكون قيمة هذه العناصر 1 بدلًا من الصّفر.

المصفوفة المتعامدة

تُسمّى المصفوفات باسم المصفوفة المتعامدة عندما تكون مربّعة، ويكون حاصل ضربها بنقولها منتجًا لمصفوفة الوحدة التي لها الرتبة ذاتها أيضًا؛ حيث إنّ حاصل الضّرب يُنتج مصفوفة ذات قيمة صفريّة لجميع العناصر، باستثناء عناصر القطر الرئيسيّ التي تساوي 1 كما سبق.

المصفوفة المدرجة

تتميّز المصفوفة المدرّجة بشكلها الذي يشبه الدّرجات مع كون العناصر السفليّة تساوي صفرًا؛ حيث تُعرف المصفوفة بأنّها درجيّة إذا حقّقت الشروط الآتية:

• كون العنصر الرّائد في السطر يقع إلى يسار العنصر الرّائد في السّطر الذي يليه، ويجدر الذّكر بأنّ العنصر الرّائد هو أوّل عنصر غير صفريّ في الصفّ ضمن المصفوفة.
• كون الأسطر غير الصفريّة تسبق الأسطر الصفريّة إلى وُجدت في المصفوفة.

العمليات الحسابية على المصفوفات

تقبل المصفوفات مجموعة من العمليّات الحسابيّة المختلفة، وأبرزها: الضرب، والقسمة، والجمع، والطّرح، إلّا أنّ لكلّ واحدة من هذه العمليّات شروطًا ينبغي استيفاؤها لاستخراج الناتج الصحيح.

ضرب المصفوفات

عند ضرب المصفوفات مع بعضها البعض يتمّ الحصول على مصفوفة جديدة لها نفس عدد صفوف المصفوفة الأولى وذات عدد أعمدة المصفوفة الثانية، ولا بُدّ من ضرب كلّ صفّ من صفوف المصفوفة الأولى مع جميع الأعمدة في المصفوفة الثانية للحصول على ناتج صحيح كما في المثال الآتي:

المصفوفة أ

|1 5|

|6 2|

المصفوفة ب

|5 3|

|2 8|

عمليّة الضرب:

|(5×3)+(1×8)=23|

|(5×5)+(1×2)=27|

|(2×3)+(6×8)=54|

|(2×5)+(6×2)=22|

ناتج الضرب:

|27 23|

|22 54|

شرط ضرب المصفوفات

يُشترط لضرب المصفوفات أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية فحسب، وتكون نتيجة الضّرب مصفوفة جديدة بعدد صفوف الأولى وأعمدة الثانية كما سبق ذكره.

النظير الضربي للمصفوفة

يُعرف النّظير الضّربيّ للمصفوفة بأنّه مصفوفة ينتج عن ضربها مع المصفوفة الأصليّة مصفوفة ثالثة تنطبق عليها شروط مصفوفة الوحدة، ومن الأمثلة عليها المصفوفة الآتية:

|4 3|

|2 1|

ونظيرها الضربيّ هو المصفوفة الآتية:

|-2 1|

|3/2 -½|

فإنّ ناتج ضربها يساوي مصفوفة الوحدة الآتية:

|0 1|

|1 0|

جمع وطرح المصفوفات

نستطيع جمع المصفوفات وطرحها إذا كان لها الرتبة نفسها فحسب، وهذا يعني وجوب كونها بنفس عدد الصفوف وعدد الأعمدة، وتُعدّ عمليّات الجمع والطّرح بسيطة مقابل عمليّة الضّرب المُعقّدة؛ حيث يتمّ جمع العنصر مع نظيره في المصفوفة الثانية أو طرحه منه مباشرة كما في المثال الآتي:

المصفوفة الأولى

|5 6 2|

|3 2 1|

|9 5 3|

المصفوفة الثانية

|1 3 9|

|5 3 2|

|8 3 4|

عمليات الجمع:

|5+1=6|

|6+3=9|

|2+9=11|

|3+5=8|

|2+3=5|

|1+2=3|

|9+8=17|

|5+3=8|

|3+4=7|

ناتج عملية الجمع:

|6 9 11|

|8 5 3|

|17 8 7|

عمليات الطرح:

|5-1=-4|

|6-3=-3|

|2-9=7|

|3-5=2|

|2-3=1|

|1-2=1|

|9-8=-1|

|5-3=-2|

|3-4=1|

ناتج عملية الطرح:

|-4 -3 7|

|2 1 1|

|-1 2 1|

معكوس المصفوفة

يشار إلى معكوس المصفوفة أ بالرّمز أ^-1، وينتج عن ضربه بالمصفوفة الأصليّة مصفوفة ثالثة تُعرف باسم مصفوفة الوحدة، وينبغي أن تكون المصفوفة الأصليّة مربّعة لقبول عمليّة العكس، ويمكن حسابها بالطّريقة الآتية عن طريق الآلة الحاسبة العلميّة:

• تشغيل وضع المصفوفات: يُمكننا الاستعانة بالكتاب الإرشاديّ المرفق مع الآلة الحاسبة لمعرفة طريقة الانتقال من الوضع القياسيّ إلى وضع المصفوفات باستخدام الأزرار.
• إدخال المصفوفة: يتمّ إدخال المصفوفة عن طريق تحديد عدد صفوفها وأعمدتها، ثمّ تعبئة كلّ عنصر بالعدد المطلوب من خلال لوحة الأرقام بعد إدخال الاسم المناسب لها.
• الخروج من وضع المصفوفة: نستطيع الخروج من وضع المصفوفات إلى الوضع القياسيّ من خلال أزرار الآلة الحاسبة حسب تعليمات الاستخدام.
• إيجاد المعكوس: لا بدّ من العودة إلى وضع المصفوفات مرّة أخرى، ثمّ اختيار المصفوفة التي تمّت إضافتها مؤخّرًا لنتمكّن من إيجاد المعكوس المطلوب، وذلك من خلال الضّغط على زرّ X^-1، ثمّ النّقر على زرّ الإدخال لعرض المعكوس.

المصفوفات والمحددات

تُعرف المحدّدات بأنّها رقم فريد يرتبط مع المصفوفة ويشير إلى العديد من خصائصها مثل العكس؛ حيث تكون المصفوفة غير قابلة للعكس إذا كان محدّدها يساوي الرّقم 0، في حين تكون معكوسة إذا كان محدّدها 1، وتختصّ المُحدّدات بالمصفوفة المربّعة فحسب، أمّا المصفوفة فهي مجموعة من الأرقام التي يُمكن الحصول منها على المُحدّدات دون عكس، ونستطيع حساب مُحدّد المصفوفة كما يأتي:

• حساب مُحدّد المصفوفة من الرّتبة 2:
  • المصفوفة:

|أ ب|

|ج د|

• المُحدّد: (ب×ج)-(أ×د)
• حساب مُحدّد المصفوفة من الرّتبة 3:
  • المصفوفة:

|أ ب ج|

|د هـ و|

|ز ح ط|

• المُحدّد: (ج×هـ×ز+ب×د×ط+أ×و×ح)-(ب×و×ز+ج×د×ح+أ×هـ×ز)

جبر المصفوفات

تقبل المصفوفات إجراء العديد من عمليّات الجبر المُختلفة بما فيها الضّرب والقسمة والجمع والطّرح، إلّا أنّ لكلّ واحدة من هذه العمليّات العديد من الشّروط لإجرائها بشكل صحيح، وفيما يأتي شرح تفصيليّ لعمليّات جبر المصفوفات:

• المساواة: تكون المصفوفتين متساويتين إذا كانت لهما الرّتبة ذاتها مع مساواة جميع عناصر المصفوفة الأولى مع ما يقابله من عناصر المصفوفة الثانية.
• الجمع والطّرح: يُشترط لعمليّة الجمع والطّرح تساوي المصفوفات في رتبتها دون اشتراط مساواة العناصر لبعضها البعض، ويتمّ إجراء الجمع أو الطّرح عن طريق إضافة كلّ عدد في المصفوفة الأولى إلى العدد الذي يناظره في الثّانية أو طرحه منه، ويكون النّاتج مصفوفة ثالثة بذات عدد أعمدة وصفوف المصفوفتين الأصليّتين قبل الجمع أو الطّرح.
• الضّرب والقسمة: يُشترط لقبول الضّرب والقسمة في المصفوفات تساوي عدد أعمدة إحدى المصفوفتين مع عدد صفوف المصفوفة الأخرى، ويتمّ إجراء عمليّات الضّرب والقسمة من خلال ضرب كلّ صفّ من صفوف المصفوفة الأولى بأعمدة المصفوفة الثانية أو قسمتها عليه كما سبق في شرح طريقة الضّرب.
• الضّرب بعدد ثابت: يُمكن ضرب المصفوفة بعدد ثابت بدلًا من ضربها بمصفوفة أخرى دون اشتراط أيّة شروط تتعلّق برتبة المصفوفة المضروبة، ولك من خلال ضرب كلّ واحد من عناصر المصفوفة بالعدد الثابت ذاته، ويكون النّاتج مصفوفة جديدة بذات عدد صفوف وأعمدة المصفوفة الأصليّ.

حل المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

يُمكننا الاعتماد على عمليّة الضّرب الحسابيّة التي تقبلها المصفوفات لحلّ المعادلات الخطّيّة بعد الانتهاء من ترتيبها على النّحو الصحيح وإيجاد معكوسها كما في المثال الآتي:

• المعادلات الخطّيّة:
  • س+ص+ع=6
  • 2ص+5ع=-4
  • 2س+5ص-ع=27
• ترتيب المعادلات في مصفوفة على النّحو الآتي:

المصفوفة أ المصفوفة ب المصفوفة ج

1 1 1 س 6

0 2 5 × ص = 4

2 5 -1 ع 27

• حساب معكوس المصفوفة أ لينتج المصفوفة الآتية:

|-27 6 3|

|(1/-21) × 10 -3 -5|

|-4 -3 2|

• ضرب المعكوس السابق مع المصفوفة ج لينتج المصفوفة الآتية:

|5|

|3|

|-2|

• حلّ المعادلة الخطّيّة يساوي ناتج عمليّة الضّرب الأخيرة كما يأتي:
  • س=5
  • ص=3
  • ع=-2

استخدام الالة الحاسبة في المصفوفات

لا يُمكن استخدام الآلات الحاسبة البسيطة في حلّ المصفوفات، إنّما ينبغي استخدام آلة حاسبة علميّة لهذه الأغراض، كما تحتوي شبكة الإنترنت على عدد كبير من المواقع التي توفّر حلّ المصفوفات عبر الشبكة مباشرة مثل موقع matrixcalc المتخصّص بالمصفوفات، ويجدر التنبيه إلى ضرورة قراءة التعليمات الإرشاديّة لمعرفة طريقة حلّ المصفوفات وفق الخطوات المُعتمدة؛ حيث تختلف هذه الطّريقة عند اختلاف الشركة المُصنّعة، ويمكن من خلال الآلة الحاسبة إيجاد نتائج ضرب المصفوفات وجمعها وطرحها، بالإضافة إلى إيجاد معكوساتها.

المصفوفات في البرمجة والبرامج

تعتمد الكثير من لغات البرمجة الشائعة في العالم على المصفوفات لإجراء العديد من العمليّات المنطقيّة أو الحسابيّة، ومنها: لغة C++، ولغة جافا، كما يُمكننا استخدام لغات البرمجة لإنشاء البرامج التي تستطيع معرفة مدى تطابق المصفوفات وإجراء حساباتها المختلفة أيضًا، ويجدر الذّكر بأنّ لغات البرمجة تعتمد على المصفوفات كذلك لتخزين قيم المتغيّرات.

المصفوفات في لغة c++

تُعرف المصفوفة في لغة C++ بأنّها متغيّر يحتوي على العديد من العناصر ذات النّوع نفسه، ويُمكن لكلّ عنصر من عناصر المصفوفة في لغة البرمجة المذكورة تخزين قيمة واحدة فحسب، ويحمل العنصر الأوّل في مصفوفة C++ الرّتبة 0، ثمّ يليه العنصر بالرّتبة 1، وهكذا حتّى انتهاء جميع العناصر، ويتمّ تعريف المصفوفات في هذه اللّغة عن طريق إدخال اسم المصفوفة وعدد عناصرها، ثمّ كتابة القيم على النّحو {….., datatype arrayName[size] = {value1, value2, value3, value4 من خلال لوحة المفاتيح.

المصفوفات في الجافا

تسمح لغة جافا للبرمجة بإنشاء المصفوفات وإضافة القيم إليها بسهولة ليتمكّن المُبرمج من تقليل أعداد المتغيّرات التي تنتمي إلى نفس الفئة، كما أنّها تساعدنا في تنظيم الكود البرمجيّ أيضًا من خلال تقليل عدد المُتغيّرات، ويستطيع المُبرمج إستدعاء جميع عناصر المصفوفة مباشرة عند الحاجة إليها بدلًا من كتابة المتغيّر من جديد، ويتمّ إدخال المصفوفات في لغة جافا من خلال الكود datatype[] arrayRefVar = { value0, value1, …, valuek } وتشير رموز هذا الكود إلى الآتي:

• datatype: نوع القيم في المصفوفة.
• arrayRefVar: اسم المصفوفة.

كتابة مصفوفة في وورد

حرصت شركة مايكروسوفت الأمريكيّة على تزويد محرّر النّصوص الشهير مايكروسوفت وورد بالعديد من الخيارات التي تساعد المُستخدم في إدخال المعادلات المُختلفة بما فيها المصفوفات، ويُمكن كتابة المصفوفات في وورد كما يأتي:

• تشغيل مايكروسوفت وورد: يتمّ تشغيل مايكروسوفت وورد من خلال قائمة ابدأ مباشرة، وذلك عن طريق العثور على حزمة برامج مايكروسوفت أوفيس والضّغط عليها، ثمّ النّقر على برنامج وورد وإنشاء مُستند جديد.
• إدراج معادلة: نستطيع إدراج المُعادلة من خلال الضّغط على إدراج من شريط اللّوائح، ثمّ النّقر على معادلة Equation لعرض قائمة بجميع أنواع المعادلات المتوفّرة.
• إنشاء المصفوفة: لا بُدّ من الضّغط على خيار المصفوفة matrix بعد عرض قائمة المعادلات، ويلي ذلك اختيار المصفوفة المناسبة وإدخال عناصرها من خلال لوحة المفاتيح.

كتابة مصفوفة في الماتلاب

يتمّ كتابة المصفوفات في الماتلاب عن طريق الكود arrayRefVar= [A₁ A₂ A₃ …; B₁ B₂ B₃ …; C₁ C₂ C₃ …; ……..; N₁ N₂ N₃ …] مباشرة، ثمّ الضّغط على زرّ الإدخال، ويشير الكود arrayRefVar إلى اسم المصفوفة، وتشير الرّموز بين القوسين إلى قيمة العناصر في كلّ واحد من من الصّفوف مع الفصل بين كلّ صفّين بالفاصلة المنقوطة، ويكون ناتج المصفوفة السّابقة ما يأتي:

A₁ A_{2 3}A A_X

B₁ B₂ B₃ B_X

C₁ C₂ C₃ C_X

… … … ….

N₁ N₂ N₃ N_X

مصفوفات ادارية واجتماعية أخرى

تساعدنا بعض أنواع المصفوفات في إدارة الكثير من شؤون حياتنا اليوميّة وتنظيمها بالشّكل الذي يُمكنه تحقيق الغايات والأهداف حسب الأولويّات، ومن أبرزها: مصفوفة بوسطن، ومصفوفة إدارة الوقت.

مصفوفة المخاطر

تحتوي مصفوفة المخاطر على جميع المشاكل المُحتملة مع تقييم مخاطر كلّ واحدة منها، ويتمّ رسمها على شكل خريطة أو جدول، كما تضمّ هذه المصفوفة العديد من التّفاصيل حول احتماليّة حدوث المخاطر أو المشاكل لاتّخاذ الإجراءات الاحترازيّة التي تضمن الحدّ من الخطر قبل وقوعه، ويتمّ استخدام مصفوفة المخاطر في الشّركات والمؤسّسات المختلفة بما فيها المستشفيات ومقرّات العمل.

مصفوفة بوسطن

تُعرف مصفوفة بوسطن بالعديد من الأسماء الأخرى، ومنها مصفوفة النّموّ والمشاركة، وتهدف هذه المصفوفة إلى مساعدة الجهات المُختصّة في اتّخاذ القرارات الاستراتيجيّة بالاعتماد على معدّلات النّموّ في السّوق إلى جانب الحصّة السّوقيّة، وتتكوّن هذه المصفوفة من جدول يحتوي على أربعة خلايا كما يأتي:

علامة الاستفهام	النّجوم
الكلاب	البقرة الحلوب

• علامة الاستفهام: تحتوي هذه الخليّة على الأنشطة ذات النّموّ المرتفع والحصّة السّوقيّة المُنخفضة.
• النّجوم: تضمّ هذه الخليّة الأنشطة التي تتمتّع بنموّ وحصّة سوقيّة مرتفعين.
• الكلاب: تحتوي خليّة الكلاب على الأنشطة ذات النموّ المنخفض والحصّة السّوقيّة المُتدنّية.
• البقرة الحلوب: تضمّ خليّة البقرة الحلوب الأنشطة الاقتصاديّة ذات النّموّ المنخفض والحصّة السّوقيّة المرتفعة.

مصفوفة ماكنزي

تهدف مصفوفة ماكنزي إلى اجتناب نقاط الضّعف التي تعاني منها مصفوفة بوسطن، وتعرف هذه المصفوفة باسم مصفوفة تحليل الأعمال أيضًا، وتحتوي على ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة، ويشير البُعد الأفقيّ في المصفوفة المذكورة إلى قوّة أعمال الشّركة أو مركزها التّنافسيّ، في حين يشير البُعد العاموديّ إلى جاذبيّة الصّناعات، وفيما يأتي نموّذج من مصفوفة ماكنزي:

ضعيف	متوسّط	قويّ
3	2	1	مرتفع
6	5	4	متوسط
9	8	7	منخفض

المصفوفات المتتابعة

تضمّ المصفوفة المتتابعة مجموعة من الاختبارات غير الشّفويّة، وتُستخدم في الحقل التربويّ عادةً لتحديد مدى استيعاب المُتعلّمين وقدراتهم العقليّة، وتمّ تطوير هذه المصفوفة من قبل جون سي ريفن، وتنقسم المصفوفات المتتابعة إلى ثلاث فئات كما يأتي:

• المصفوفات المتتابعة القياسية: يُطلق على هذه الفئة اسم المصفوفات المتتابعة المعياريّة أيضًا، وهي أولى نماذج المصفوفة المتتابعة، وتحتوي على ستّين خليّة تندرج في خمسة مجموعات؛ تضمّ كلّ واحدة منها اثنتا عشرة مفردة تزداد صعوبتها تدريجيًّا.
• المصفوفات المتتابعة الملوّنة: تمّ تطوير هذه الفئة لتناسب الأطفال من سنّ الخامسة وحتّى سنّ الحادية عشرة، كما أنّها مناسبة لكبار السنّ، والأشخاص الذين يعانون من ضعف في القدرات العقليّة أو الجسديّة أيضًا.
• المصفوفات المتتابعة المُتقدّمة: يتمّ تقديم هذه الفئة من مصفوفات ريفن المتتابعة إلى البالغين والمراهقين الذين يتمتّعون بمستويات ذكاء فوق المتوسّط، وتحتوي المصفوفة المتتابعة المُتقدّمة على ثمان وأربعين مفردة.

مصفوفة ادارة الوقت

تم تصميم مصفوفة إدارة الوقت بهدف مساعدتنا على تحديد الأولويّات المختلفة وترتيب الأوقات بناءً على ذلك، وتحتوي هذه المصفوفة على أربع خلايا كما يأتي:

	عاجل	غير عاجل
مهم	عاجل ومهم	غير عاجل ومهم
غير مهم	عاجل وغير مهم	غير عاجل وغير مهم

مصفوفة الاولويات

يُطلق على مصفوفة الأولويّات كذلك اسم مصفوفة إدارة الوقت، وتتكوّن هذه المصفوفة من جدول يحتوي على أربع خلايا لتحديد الأنشطة اليوميّة المُهمّة وغير المهمّة بالإضافة إلى تحديد الأنشطة العاجلة وغير العاجلة ليتمكّن الأفراد من ترتيب أولويّاتهم وفق مرتبة النّشاط، ويشير كلّ واحد من هذه الخلايا إلى العديد من الأنشطة كما يأتي:

• عاجل ومهمّ: تشتمل هذه الفئة على جميع الأنشطة الضّروريّة التي لا يُمكن تأجيلها مثل زيارة المُستشفى أو تقديم الاختبارات المدرسيّة والجامعيّة.
• عاجل وغير مهمّ: تُعرف أنشطة هذه الفئة بأنّها الأنشطة التي تُفرض علينا مع ضرورة الانتهاء منها في أسرع وقت ممكن، ومنها مساعدة الأصدقاء، والزّيارات المفاجئة.
• غير عاجل ومهمّ: تضمّ فئة الأنشطة العاجلة غير المهمّة كافّة النّشاطات التي تحتاج وقتًا طويلًا لإنجازها؛ كالحصول على الشّهادة الجامعة أو الانتهاء من الدّورات التدريبيّة.
• غير عاجل وغير مهمّ: تحتوي فئة الأنشطة غير العاجلة وغير المُهمّة على كافّة النّشاطات التي تهدر الوقت دون أيّ فائدة مرجوّة منها؛ كمحادثات الإنترنت، والأنشطة الترفيهيّة غير الهادفة.

مصفوفة سوات

يُطلق على مصفوفة سوات اسم مصفوفة التّحليل الرّباعيّ، وهي إحدى المصفوفات التي تُستخدم من قبل الشّركات والمؤسّسات لصياغة استراتيجيّاتها بعد تحديد نقاط القوّة ونقاط الضّعف بالإضافة إلى معرفة الفُرص المُتاحة والتّهديدات، وفيما يأتي نموذج مصفوفة سوات:

	قوة	ضعف
الفرص	لا بُدّ من استغلال القوّة في هذه الخليّة للاستفادة من الفرص المتاحة	تضمّ هذه الخليّة نقاط الضّعف التي يجب تجاوزها بالاعتماد على الفُرص
التّهديدات	تشير هذه الخليّة إلى التّهديدات التي ينبغي اجتنابها باستخدام نقاط القوّة	ينبغي اجتناب نقاط الضّعف الموجودة في هذه الخليّة مع تجاوز التّهديدات

مصفوفة الصلاحيات

تعتمد العديد من المؤسّسات على مصفوفة الصّلاحيّات لتحديد المسؤوليّات المُختلفة بالشّكل الذي يضمن إنجاز المشاريع المُقسّمة إلى عدّد من المهمّات، وتُعرف هذه المصفوفة باسم مصفوفة راسي RACI اختصارًا للكلمات الإنجليزيّة الآتية:

• R: تمّ اختصار هذا الحرف من كلمة Responsible التي تعني الاختصاص، وتضمّ جميع العاملين لإنجاز المهمّة المطلوبة في المؤسّسة.
• A: تمّ اختصار هذا الحرف من كلمة Accountable التي تعني المسؤولية، وتشتمل على جميع الأشخاص المسؤولين عن إنجاز العمل بشكل صحيح لتسليمه.
• C: تمّ اختصار هذا الحرف من كلمة Consulted التي تعني الاستشارة، وتشمل جميع الخبراء الذين ينبغي التّواصل معهم واستشارتهم لإنجاز المهمّة.
• I: تمّ اختصار هذا الحرف من كلمة Informed التي تعني الاطلاع، وتضمّ الأفراد الذين ينبغي إطلاعهم على مستويات الإنجاز بشكل مستمرّ.

مصفوفة المدى والتتابع للغة العربية

يتمّ تمثيل مصفوفات المدى والتتابع للّغة العربيّة على شكل جدول يحتوي على العديد من الصّفوف والأعمدة؛ لتحديد مؤشّرات المهارات المُختلفة في اللّغة العربيّة مع تحديد كفاياتها ومؤشّراتها بالشّكل الذي يتناسب مع كلّ مرحلة من المراحل التعليميّة، ومن أبرز مصفوفات المدى والتّتابع المذكورة؛ مصفوفة المدى والتّتابع لمهارة القراءة، ومصفوفة المدى والتّتابع لمهارة الاستماع، ومصفوفة المدى والتّتابع لمهارة الكتابة.

فيديو حول المصفوفات