جدول المحتويات
الدائرة من أقدم الأشكال الهندسية التي عرفها الإنسان، وعلى مر العصور تم ابتكار العديد من القوانين لقياس محيط الدائرة، و مساحة الدائرة، ونصف قطر الدائرة، كما تم وضع قوانين لقياس حجم بعض الأشكال الهندسية داخل الدائرة مثل المثلث.
يتحدث هذا المقال عن الدائرة، ويشمل:
- ماهي الدائرة ومنذ متى عرف الإنسان هذا الشكل الهندسي.
- تعريف محيط الدائرة وطريقة حسابه بدقة.
- ما هو قطر الدائرة و نصف القطر وأهم القوانين لحسابها بدقة.
- طريقة حساب مساحة الدائرة بواسطة أكثر من قانون.
ما هي الدائرة ؟
يمكن تعريف الدائرة بأنها منحنى مغلق تبعد جميع نقاطه مسافة متساوية من النقطة التي تعتبر مركز هذه المنحنى المغلق، وتعد من أقدم الأشكال الهندسية التي عرفها الإنسان، ولعل أبلغ دليل على ذلك هو اكتشاف بعض علماء الآثار موقعاً أثرياً في بريطانيا يحتوي على بعض الصخور ذات الشكل الدائري، والتي ترجع للعصر الحجري.
محيط الدائرة
محيط الدائرة هو حجم المسافة حول الدائرة، وتتكون الدائرة من بعض الأجزاء التي تساعد في التعرف عليها بدقة أكثر كما يلي:
- القطاع الدائري: هو عبارة عن نصف الدائرة أو المساحة الموجودة في نصف قطر الدائرة.
- القوس: هو أي جزء من أجزاء الدائرة بغض النظر عن حجمه.
- الوتر: هو عبارة عن المسافة بين أي نقطتين تقعان على منحنى الدائرة.
في الماضي تم استخدام العديد من الطرق لقياس محيط الدائرة أو أحد أجزائها حتى تم وضع العديد من القوانين الدقيقة التي تقوم بهذا الأمر بسهولة وسرعة.
تعريف محيط الدائرة
يمكن تعريف محيط الدائرة بأنه المسافة التي يمكن قياسها عند القيام بقياس طول هذا المنحنى بداية من إحدى النقاط الواقعة عليه وانتهاءً عندها، ويعبر التعريف السابق ذكره عن إحدى الطرق البدائية التي تم استخدامها لقياس محيط الدائرة، حيث قام علماء الرياضيات في هذا الوقت بلف قطعة من الخيط حول الدائرة، ثم قياس طولها للتعرف على محيط الدائرة، أما في الوقت الراهن فهناك العديد من الطرق الأكثر بساطة ودقة تساعد على قياس محيط الدائرة كما يلي:
ما هو قانون محيط الدائرة؟
يتمثل قانون محيط الدائرة في معادلة 2×π×نق، حيث إن الرمز نق هو قيمة نصف قطر الدائرة، بينما الرمز π يشير لقيمة ثابتة في المعادلة، والتي تكون 22÷7، أو يمكن استخدام القيمة المباشرة 3.14.
النسبة بين محيط الدائرة وطول قطرها
النسبة بين محيط الدائرة وطول قطرها هي نسبة ثابتة بغض النظر عن حجم الدائرة، ويمكن التعبير عن هذه النسبة بالرمز π، أو باي التي تساوي قيمته 3.14، ويتم استخدام هذا الرمز في معادلات حساب محيط الدائرة كما ذكرنا سابقاً.
حساب محيط الدائرة
لحساب محيط الدائرة يتوجب عليك ضرب طول قطرها في القيمة باي أو π، والتي تبلغ قيمته 3.14، وبالتالي إذا كان لديك قيمة القطر فيمكنك استخدام المعادلة: طول القطر × π، أما إذا كان لديك قيمة نصف القطر، فإن هناك تعديلاً بسيطاً يدخل على المعادلة لتصبح 2 × نصف القطر × π.
محيط نصف الدائرة
لحساب محيط نصف الدائرة يمكنك استخدام المعادلة السابق ذكرها مع إجراء تعديل بسيط عليها، فإذا كان محيط الدائرة = 2 × نصف القطر × π؛ فإن محيط نصف الدائرة = نصف القطر × π.
محيط ربع الدائرة
لحساب محيط ربع الدائرة يتم استخدام قانون حساب محيط الدائرة المذكور سابقاً مع القيام بقسمة الناتج على 4، وذلك للحصول على محيط ربع الدائرة فقط، وبالتالي فإن المعادلة تأخذ الشكل التالي (2 ×π ×نصف القطر) ÷4 ، أو (π ×طول قطر الدائرة ) ÷ 4. أيضاً من الممكن أن تقوم بعمل تعديل بسيط على شكل القانون في حال امتلاكك قيمة نصف القطر الخاص بالدائرة، حيث من الممكن أن تأخذ المعادلة الشكل التالي: ( π × نصف القطر ) ÷ 2.
الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة
يمكن تعريف الزاوية المركزية في الدائرة بأنها الزاوية التي يقع رأسها عند النقطة المركزية للدائرة، بينما يكون الضلعين المكونين لها عبارة عن نصفيّ قطر الدائرة، بينما الزاوية المحيطية هي عبارة عن زاوية تتكون في أي نقطة على محيط الدائرة، ويكون الضلعين المكونين لها بمثابة وترين تمتد من إحدى النقاط على محيط الدائرة لنقاط أخرى على نفس المحيط.
مسائل على محيط الدائرة
باستخدام قانون محيط الدائرة ( 2 × نصف القطر × π)؛ يمكنك حساب محيط أي شكل دائري بمنتهى السهولة، وفيما يلي بعض التمارين التي تساعدك على فهم هذا القانون بصورة أدق:
- لحساب محيط حمام سباحة يبلغ طول نصف قطره حوالي 20 متر، فإن المعادلة تأخذ الشكل التالي π ×2 × 20 ليكون الناتج 125.6 متراً تقريباً.
- لحساب محيط حديقة يبلغ طول قطرها 15 متر، فربما يتغير شكل المعادلة قليلاً لتصبح طول القطر× π ليكون الناتج 51 متراً تقريباً.
- في بعض الحالات قد تحتاج لعمل تعديل في قانون محيط الدائرة وفقاً للمعطيات المتوفرة لديك، فعلى سبيل المثال إذا كانت المعطيات المتوفرة لديك هي أن محيط الدائرة يبلغ 30 متراً، والمطلوب هو حساب قطر أو نصف قطر هذه الدائرة، وهو ما يعني أن المعادلة تأخذ الشكل التالي (قطر الدائرة×π) = ثلاثين متراً، وبالتالي يكون قطر الدائرة = 30 ÷ 3.14 = 9.55 تقريباً، ولحساب نصف قطر الدائرة، فإنك لا تحتاج أكثر من قسمة الناتج السابق على 2، ليكون نصف قطر الدائرة يساوي 4.77 متراً تقريباً.
ما هي مساحة الدائرة ؟
يمكن تعريف مساحة الدائرة بأنها عبارة عن قيمة أو حجم المساحة التي يشغلها الجسم الدائري على سطح مستوي أو ثنائي الأبعاد.
قانون مساحة الدائرة
هناك العديد من القوانين الرياضية التي تساعدك على حساب مساحة الدائرة حسب المعطيات المتوفرة لديك كما يلي:
- حساب مساحة الدائرة عن طريق القطر: في هذه الحالة يتم استخدام المعادلة التالية؛ مساحة الدائرة = ( π × مربع قيمة القطر) ÷ 4.
- حساب محيط الدائرة عن طريق نصف القطر: يمكن استخدام المعادلة بالشكل التالي؛ مساحة الدائرة = مربع قيمة نصف القطر × π.
- حساب مساحة الدائرة عند معرفة محيطها: في هذه الحالة ربما يتغير شكل المعادلة قليلاً لتصبح؛ مساحة الدائرة = (مربع محيط الدائرة) ÷( π× 4).
حساب مساحة الدائرة
لحساب الحيّز أو المساحة التي تشغلها الدائرة؛ لا بد من توافر بعض المعلومات التي تساعد على حساب ذلك؛ مثل طول نصف قطر الدائرة للحصول على مساحة الدائرة من خلال القانون: مساحة الدائرة = π × مربع نصف القطر
مساحة نصف الدائرة
لحساب مساحة نصف الدائرة يمكن استخدام أحد القوانين المذكورة في الفقرة السابقة مع قسمة الناتج على 2 للحصول على قيمة مساحة نصف الدائرة، فعلى سبيل المثال إذا رغبنا في معرفة قيمة مساحة الدائرة التي يبلغ طول نصف قطرها 5سم، ففي هذه الحالة يتم استخدام المعادلة التالية: (π ×مربع قيمة نصف القطر) = 25 ×3.14 = 78.5، وبالتالي فإن قيمة مساحة نصف الدائرة = 78.5 ÷ 2 = 39.2سم تقريباً.
مساحة ربع الدائرة
يمكن حساب مساحة ربع الدائرة بنفس الطريقة التي اتبعناها لحساب مساحة نصف الدائرة، ولكن بقسمة الناتج على 4 هذه المرة، فإذا اتبعنا نفس الخطوات المذكورة في المثال السابق لحساب قيمة مساحة ربع الدائرة التي يبلغ إجمالي مساحتها 78.5، ففي هذه الحالة تكون القيمة = 78.5 ÷ 4 = 19.6سم تقريباً.
مساحة مثلث متساوي الاضلاع داخل دائرة
لحساب مساحة مثلث متساوي الأضلاع داخل دائرة قم بدراسة المثال التالي بدقة.
إذا كانت المعطيات المتوفرة لديك هي وجود مثلث ذو أضلاع متساوية مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 2سم، فيمكن معرفة مساحة المثلث عن طريق تطبيق القانون التالي: مساحة المثلث = ( 3√ 3 ÷4 ) × مربع نصف قطر الدائرة، وبالتعويض وفقا للمعطيات المتوفرة، فإن شكل المعادلة يكون (5.19 ÷ 4) × 4 = 5.19، وهي قيمة مساحة المثلث الموجود داخل الدائرة.
مساحة الدائرة المارة برؤوس مثلث
لحساب مساحة الدائرة المارة برؤوس مثلث، يمكنك اتباع أحد القوانين التالية وفقاً لنوع المثلث الذي تمر رؤوسه بالدائرة:
- مثلث متساوي الأضلاع عن طريق طول أضلاعه: في هذه الحالة تكون مساحة الدائرة وفقاُ للقانون التالي: (مربع القيمة a مقسوماً على 3 ) × π؛ حيث إن a ترمز لطول ضلع المثلث، والرمز π يساوي 3.14 وهي قيمة ثابتة لا تتغير، فتكون مساحة الدائرة = ( 9÷ 3 ) × 3.14 = 9.42سم تقريباً.
- مثلث متساوي الأضلاع عن طريق ارتفاع المثلث: في هذه الحالة يتم حساب مساحة الدائرة وفقاً للمعادلة التالية: مربع قيمة ( 2 ×H ) مقسوماً على 3، ثم ضرب الناتج في قيمة π، حيث إن H يعبر عن ارتفاع المثلث، وفي حالة افتراض أن ارتفاع المثلث 5سم، فتكون المعادلة مربع قيمة ( 2 × 5 ÷ 3) × π ليكون الناتج يساوي 34.9سم تقريباً.
مساحة القطعة الدائرية
لحساب مساحة قطعة فقط من حجم الدائرة دون غيرها، يتوجب عليك اتباع القانون التالي: مساحة الدائرة كاملة×(زاوية القطعة الدائرية ÷ 360)، وبالتالي يجب التعويض عن مساحة الدائرة في القانون السابق بقانون مساحة الدائرة؛ والذي ينص على أن مساحة الدائرة = ( مربع نصف القطر) × π، وبالتالي إذا افترضنا أن نصف قطر الدائرة يبلغ 5سم، بينما زاوية القطعة الدائرية المطلوب حجمها تبلغ 80 درجة، فإن مساحة الدائرة = 25 × 3.14= 78.5سم تقريباً، وبالعودة للمعادلة الرئيسية لتحديد مساحة القطعة الدائرية، فإنها تأخذ الشكل التالي: 78.5 × ( 80 ÷ 360 ) = 17.4سم تقريباً.
مسائل على مساحة الدائرة
لحساب مساحة أي جسم ذو شكل دائري يجب استخدام قانون مربع نصف القطر × π، مع العمل على تعديل المعطيات بالصورة التي تساعدك على استخدامها في هذا القانون كما يلي:
- مثال 1: إذا كان طول نصف قطر الدائرة 10سم، ففي هذه الحالة تبلغ مساحة الدائرة (10 × 10 × 3.14) = 314سم تقريباً
- مثال 2: إذا كان طول قطر الدائرة 16سم، ففي هذه الحالة يجب قسمة طول القطر على 2 للحصول على قيمة نصف القطر، وبالتالي القيام بالتعويض في المعادلة لتصبح كما يلي: ( 8 × 8 × 3.14) = 200.9سم تقريباً.
- مثال 3: ربما تحتاج للقيام ببعض الخطوات الإضافية لحساب مساحة الدائرة في حالة عدم امتلاكك لقيمة القطر أو نصف القطر، وتوافر قيمة محيط الدائرة فقط، ففي هذه الحالة ستحتاج لاستخدام قانون محيط الدائرة لاستنتاج قيمة نصف القطر، وذلك لأن قانون محيط الدائرة ينص على أن قيمة المحيط = 2× π × نصف القطر، وبالتالي لحساب مساحة دائرة يبلغ محيطها 18سم، فإن المعادلة الخاصة بمحيط الدائرة تكون = 6.28 × نصف القطر = 18، وبالتالي تكون قيمة نصف القطر تساوي 18÷ 6.28 = 2.86سم تقريباً، وبالعودة لقانون مساحة الدائرة الرئيسي، فإنه يأخذ الشكل التالي: مربع نصف القطر × 3.14 = 25.6سم تقريباً.
استنتاج قانون مساحة الدائرة
تم استنتاج قانون مساحة الدائرة بطريقة غريبة، حيث قام بعض علماء الرياضيات بتصميم دائرة من الورق وتقسيمها لإثنى عشر جزء، وتم إعادة هذه الأجزاء على شكل مستطيل، والذي ساعد على استنتاج أن طول المستطيل يساوي طول نصف قطر الدائرة، وهو ما ساعد على وضع الصيغة الأولية لقانون مساحة الدائرة، والذي نص على أن مساحة الدائرة =1÷2×محيط الدائرة × نصف القطر، وبالتعويض في القانون السابق وإضافة قانون محيط الدائرة الذي ينص على المحيط = 2× π × القطر؛ فيكون شكل معادلة مساحة الدائرة = 1÷ 2 × (2× π × نصف القطر) × نصف قطر، وباختصار المعادلة السابقة يكون قانون مساحة الدائرة = مربع نصف القطر × π.
قطر الدائرة
بغض النظر عن حجمها، فإن أي دائرة تحتوي على عدد لا نهائي من الأقطار، والتي يمكن تعريفها كما يلي:
ما معنى قطر الدائرة
يمكن تعريف قطر الدائرة بأنه خط مستقيم يصل بين نقطتين تقعان على محيط الدائرة؛ شرط أن يمر هذا الخط بمركز الدائرة، والذي يبعد بمسافة واحدة عن أي نقطة تقع على محيط الدائرة.
قانون نصف قطر الدائرة
- قانون محيط الدائرة: ينص قانون محيط الدائرة على أن المحيط = 2 × π × نصف القطر، وبالتالي إذا كان محيط الدائرة 20سم فهذا يعني أن 20 = 6.28 × نصف القطر، وبالتالي فإن نصف القطر= 20 ÷ 6.28 = 3.18سم تقريباً
- قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = π × مربع نصف القطر، وبالتالي إذا كانت مساحة الدائرة 150سم، فإن مربع نصف القطر = 150÷ 3.14 = 47.7، وبالتالي فإن نصف القطر يساوي الجذر التربيعي للرقم 47.7 = 6.9سم تقريباً.
طول قطر الدائرة
يمكن قياس طول قطر الدائرة عبر العديد من الطرق؛ مثل القوانين السابق ذكرها لقياس الطول حسابياً، أو من الممكن قياس طول قطر الدائرة عن طريق مد خط يصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة، ويمر بمركز الدائرة، والقيام بقياس طول هذا الخط عن طريق المسطرة.
حساب قطر الدائرة
يمكن حساب قطر الدائرة بمعادلة بسيطة، حيث إن قطر الدائرة = محيط الدائرة ÷ π، وبالتالي إذا كان محيط الدائرة يبلغ 30سم، فإن قطر الدائرة = 30÷ 3.14 = 9.55سم تقريباً.
ايجاد نصف القطر من معادلة الدائرة
يمكن إيجاد نصف القطر عن طريق معادلة محيط الدائرة = قطر الدائرة × π، وبالتالي إذا محيط الدائرة 35سم، فإن قطر الدائرة = محيط الدائرة ÷ π = 35÷ / 3.14= 11.1سم تقريباً، و بقسمة الناتج على 2، فإن قيمة نصف القطر = 5.5سم تقريباً.
