جدول المحتويات
المنوال هو أحد أنواع مقاييس النزعة المركزية الرئيسة التي يتم استخدامها في مجال الإحصاء، وهو القيمة التي تتكرر بشكل أكبر من بين مجموعة البيانات التي يتم دراستها، وهناك عدد من القيود الرياضية على كيفية حساب المنوال، إذ يمكن أن تحتوي المجموعة الواحدة من البيانات على أكثر من منوالٍ واحد، يطلق على هذه البيانات اسم بيانات ثنائية المنوال، ومنها ما تحتوي على أكثر من منوالين، والتي تعرف باسم مجموعة البيانات متعددة المنوال، ويمكن استخدام المنوال في العديد من التطبيقات في الحياة العملية وذلك من أجل تسهيل الحصول على النتيجة المطلوبة من هذه البيانات.
يتحدث المقال عن المنوال، ويشمل:
- التعرف على المنوال وأهم مفاهيم علم الإحصاء ومقاييس النزعة المركزية.
- التعرف على قانون حساب المنوال.
- التعرف على أهم طرق حساب المنوال.
- التعرف على أمثلة لطرق حساب المنوال وموالين أو أكثر، وطريقة التجميع وطريقة بيرسون.
- التعرف على أهم خواص المنوال.
- التعرف على أهم مجالات استخدام المنوال.
- حل بعض التمرينات على طريقة حل المنوال.
ما هو المنوال؟
يعتبر علم الرياضيات أساس العلوم كلها، إذ لا يمكن لأي علم آخر أن يقوم بذاته دون وجود الرياضيات، كما يتبع له عدد من العلوم الأخرى منها الإحصاء، وهو أحد أهم فروع علم الرياضيات وله دور هام في العديد من تطبيقات الحياة العملية، ومن أهم مفاهيم الإحصاء الوسط الحسابي، والمنوال، والوسيط، ويمكن تعريف المنوال في علم الإحصاء على أنه القيمة أو الرقم الأكثر تكرارًا في مجموعة معينة من البيانات، وهو عكس الوسط أو (المعدل) والوسيط، حيث يعتمد المنوال على مدى تكرار البيانات في العينة الخاصة بالدراسة، ويمكن تصنيف العينات المتوفرة بالاعتماد على عدد القيم المنوالية، حيث تقسم أنواع العينات الخاصة بالمنوال بناءً على عدد القيم المنوالية إلى الآتي:
- عينات عديمة المنوال: هي العينات الخاصة بالدراسة التي لا تحتوي على أي قيمة منوالية.
- عينات وحيدة المنوال: هي العينات الخاصة بالدراسة التي تحتوي على قيمة منوالية واحدة.
- عينات ثنائية المنوال: هي العينات الخاصة بالدراسة التي تحتوي على قيمتين منواليتين.
- عينات متعدد المنوال: هي العينات الخاصة بالدراسة التي تحتوي على ثلاث قيم منوالية أو أكثر.
مميزات المنوال
يمتاز المنوال بالعديد من الأمور التي تجعله من أفضل مفاهيم الإحصاء والتي تتلخص بالآتي:
- أنه مقياس سهل الفهم والحساب.
- أنه يمكن تقدير قيمة المنوال عن طريق التخمين والتأمل بالعينة المتوفرة.
- أنه يمكن إيجاد المنوال لمجموعة من بيانات المتغير الوصفي أو النوعي.
- أنه لا يتأثر إطلاقًا بالقيم الشاذة والمتطرفة في العينة.
- أنه يمكن إيجاد المنوال في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة، سواء كانت من طرف واحد أو طرفين.
- أنه يمكن تعيين المنوال هندسياً.
عيوب المنوال
- أنه يتأثر على نحو كبير بأخطاء المعاينة.
- أنه لا تستند عملية إيجاد قيمة المنوال إلى كافة البيانات المتاحة، إذ بمجرد ملاحظة أكبر قيمة تم تكرارها يتم معرفة المنوال أو فئته عندها يتم إهمال كافة القيم الأخرى أو الفئات الأخرى.
- أنه لا يخضع للعمليات الجبرية.
قانون المنوال في الإحصاء
يعد علم الإحصاء أحد الفروع المهمة لعلم الرياضيات والذي يُعنى بجمع البيانات وتحليلها ثم تبويبها وتمثيلها واستنتاج المعلومات الدقيقة منها، والتي يمكن من خلالها اتخاذ قرارات مدروسة ومفيدة، ويستخدم علم الإحصاء في عدد متنوع من المجالات التي تشمل المجالات العلمية والاقتصادية والاجتماعية والعسكرية والسياسية، حيث يُستخدم لذلك قوانين مقاييس النزعة المركزية التي من أهم مفاهيمها الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، لكل من هذه المفاهيم قانون خاص بها، حيث يعد المنوال القانون الأقل أهمية من بين قوانين مقاييس النزعة المركزية، وهو كالآتي: المنوال= العينة أو المشاهدة الأكثر تكررًا في مجموعة العينات المتوفرة.
كيفية حساب المنوال
عادة ما يتم حساب قيمة المنوال في البيانات المتوفرة وفقًا لنوع السلسلة، وذلك باستخدام عدة طرق أهمها:
- التفتيش: في حال كان حجم العينة صغيرًا، يتم التفتيش عن قيمة المنوال من خلال الملاحظة، أما في حال كان حجم العينة طويلًا فيتم ترتيب العينات على شكل مجموعة من القيم أو سلسلة مرتبة.
- التجميع: في بعض الحالات منها ظهور جميع القيم بنفس عدد المرات، وفي هذه الحالة لا يعد المنوال مفيدًا، إذ يمكن تجميع القيم لتقدير قيمته.
يمكن حساب قيمة المنوال باستخدام برمجيات الكمبيوتر الحديثة أهمها برمجية إكسل، إذ إن هناك مجموعة من الخطوات التي يجب إتباعها من أجل إيجاد قيمة المنوال الصحيحة، وذلك كالآتي:
- فتح برمجية إكسل.
- تعبئة القيم والمشاهدات في الخلايا بترتيبها عمودياً، بحيث توضَع كلّ مشاهدة في خليّة خاصة.
- تعيين خلية فارغة لوضع قيمة المنوال فيها.
- اختيار دالة (fx) الموجودة في قائمة إدراج، ثمّ تحديد المنوال (Mode)، والنقر على زر موافق.
- تعيين الخلايا المراد حساب المنوال لها، ثم النقر على زر موافق، عندها ستظهر قيمة المنوال وهي القيمة الأكثر تكراراً ضمن القيم المدخلة، وذلك في الخلية التي تم تركها سابقاً.
يمكن حساب قيمة المنوال بسهولة في البيانات غير المبوبة وذلك في حال تكرار قيمة واحدة أكثر من مرة، حيث تكون هي قيمة المنوال، أما في حالة وجود أكثر من قيمة مكررة ولتكن قيمتين متساويتين، فتكون هاتين القيمتين هما المنوال، وفي حالة تكرار أكثر من قيمة في البيانات وكانت واحدة منهما أكبر من الأخرى فتكون هذه القيمة هي المنوال، أما عند حساب المنوال في حال كانت البيانات مبوبة فإن الوضع يكون مختلفاً، إذ يمكن إيجاد قيمة المنوال للبيانات المبوبة بالعديد من الطرق، وهي:
- الطريقة الجبرية التي تتلخص بطريقة بيرسون، وطريقة كينج.
- الطريقة البيانية.
حساب المنوال الواحد
يمكن أن تكون مجموعة البيانات الخاصة بالدراسة تحتوي على منوال واحد فقط، ولإيجاده هناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها، وهي كما يأتي:
- كتابة البيانات المراد حساب المنوال لها، خاصًة في حال كانت كبيرة، إذ لا يمكن حساب المنوال بالنظر أو ذهنيًا لمجموعة كبيرة من البيانات.
- ترتيب الأرقام المتوفرة من القيمة الأصغر إلى الأكبر تصاعديًا، وذلك من أجل ترتيب القيم المتطابقة بجانب بعضها.
- حساب عدد المرات التي تكرر فيها كل رقم عن طريق كتابة عدد مرات تكرارها، وذلك لكل رقم على حدة.
- تحديد الرقم الأكثر تكراراً من البيانات، لأنه سيكون هو المنوال.
مثال
جد قيمة المنوال للبيانات التالية:
| 3 | 3 | 6 | 7 | 9 | 15 | 15 | 25 | 25 | 25 | 30 | 36 | 36 | 40 |
- تم ترتيب القيم تصاعدياً، ثم حساب عدد تكرارات كل رقم.
- تم تكرار الرقم 25 ثلاث مرات في الجدول، بذلك يعد العدد 25 هو المنوال لمجموعة البيانات السابقة.
حساب المنوال الثنائي
يمكن أن تحتوي المجموعة الواحدة من البيانات على منوالين أو أكثر، ولإيجاد المنوال الثاني هناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها هي كالآتي:
- كتابة البيانات المراد حساب المنوال لها خاصة في حال كانت كبيرة، إذ لا يمكن حساب المنوال بالنظر أو ذهنيًا لمجموعة كبيرة من البيانات.
- ترتيب الأرقام من القيمة الأصغر إلى الأكبر أي ترتيبها تصاعديًا، وذلك من أجل ترتيب القيم المتطابقة بجانب بعضها.
- حساب عدد مرات تكرار كل رقم وكتابة عدد مرات التكرار، كل رقمٍ على حدة.
- تحديد الأرقام الأكثر تكرارًا من البيانات المتوفرة، بحيث ستكون القيم الأكثر تكراراً هي المنوال.
مثال
جد المنوال للبيانات التالية:
| 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 6 |
- تم ترتيب البيانات تصاعدياً، ثم حساب عدد تكرارات كل رقم من القيم في الجدول.
- تم تكرار الرقمين 2 و4 ثلاث مرات، لذلك فهما يمتلكان أكبر عدد تكرارات، وبذلك يعد الرقمين 2 و4 منوال البيانات المدرجة في الجدول.
حساب أكثر من منوالين
قد تحمل أحياناً بعض العينات أو مجموعة القيم خاصة إذا كانت كبيرة نسبياً ومتنوعة منوالين أو أكثر، أي أن هناك قيمتين أو عددين أو أكثر تم تكرارهم بنفس عدد المرات في المجموعة الواحدة، ويمكن حساب أكثر من منوالين في مجموعة البيانات بنفس خطوات الطريقتين السابقتين.
مثال
جد المنوال للبيانات التالية:
| 1 | 1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 |
- تم ترتيب البيانات تصاعدياً، ثم حساب عدد تكرارات كل رقم من القيم في الجدول.
- تم تكرار الأرقام 1 و5 و6 ثلاث مرات، لذلك هي الأرقام التي تمتلك أكثر تكرارات، بذلك تعد الأرقام 1 و5 و6 هي المنوال.
حساب المنوال بطريقة التجميع
يمكن استخدام طريقة مختلفة في حساب المنوال، هي طريقة الجمع، يتم ذلك عندما تكون جميع قيم مجموعة البيانات التي يتم دراستها تمتلك نفس عدد التكرارات، إلا أنه يمكن تجميع هذه القيم في مجموعات من أجل معرفة ما إذا كان هناك مجموعة تمتلك قيماً مكررة أكثر من غيرها، وتتم هذه الطريقة كالآتي:
- وضع القيم الخاصة بالدراسة في مجموعات، وتتكون المجموعة الواحدة مثلاً من 5 أرقام أو على أرقام، فعلى سبيل المثال يمكن وضع القيم التي تقع بين الرقمين 0-9 في مجموعة واحدة، ووضع القيم بين 10-19 في مجموعة واحدة، والقيم بين 20-29 في مجموعة واحدة، والاستمرار على هذا النحو حسب القيم المتوفرة.
- أخذ المجموعة التي تضم أكبر عدد من القيم.
- أخذ القيمة الواقعة في منتصف المجموعة، بحيث تكون هي المنوال.
مثال
جد المنوال للبيانات التالية:
| 4 | 5 | 7 | 11 | 13 | 16 | 20 | 22 | 23 | 25 | 26 | 30 | 33 | 35 |
- تقسيم القيم إلى مجموعات تتكون من 10 أرقام.
- وضع القيم السابقة في الجدول ضمن المجموعات على النحو الآتي:
- المجموعة من 0-9: تضم القيم 4 و5 و7.
- المجموعة من 10-19: تضم القيم 11 و13 و16.
- المجموعة من 20-29: تضم القيم 20 و22 و23 و25 و26.
- المجموعة من 30-39: تضم القيم 30 و33 و35.
- أخذ المجموعة التي تحتوي على أكبر عدد من القيم وهي المجموعة الثالثة المكونة من 20 إلى 29.
- أخذ القيمة التي تقع في منتصف المجموعة، وهي الرقم 23، فهو المنوال لمجموعة البيانات السابقة.
حساب المنوال بطريقة بيرسون
تعتمد طريقة بيرسون في إيجاد المنوال على الوسيط والمتوسط الحسابي، حيث تستخدم هذه الطريقة للبيانات المجمعة على شكل فئات موضوعة في جدول تكراري، وذلك وفقًا للقانون التالي: قيمة المنوال= (3×الوسيط) – (2×الوسط الحسابي)، حيث يتم حساب الوسط الحسابي عن طريق جمع القيم الخاصة بالدراسة وتقسيمها على عددها، أما طريقة حساب الوسيط فهي عن طريق قانون (عدد القيم في مجموعة البيانات+1)/2، لكن هناك بعض الخطوات التي يجب اتباعها لحساب المنوال بطريقة بيرسون، وهي كالآتي:
- ضرب قيمة الوسيط الناتج بالعدد 3.
- ضرب قيمة الوسط الحسابي بالعدد 2.
- طرح ناتج ضرب الوسيط بالعدد 3 من ناتج ضرب الوسط بالعدد 2.
- الناتج من عملية الطرح هي قيمة المنوال.
مثال
استخرج القيمة التقريبية للمنوال، في حال كانت قيمة الوسط الحسابي لتوزيع بياني معين تساوي 25، وكانت قيمة الوسيط لنفس التوزيع البياني تساوي 20.
المعطيات:
- الوسط الحسابي= 22.5
- الوسيط الحسابي= 20
بتطبيق القانون تكون قيمة المنوال=(3×الوسيط) – (2×الوسط الحسابي)= (3×20) – (2×25)= 60 – 50= 10، بذلك تكون القيمة التقريبية للمنوال تساوي 10.
خواص المنوال
- المنوال من مفاهيم مقاييس النزعة المركزية سهلة الفهم والحساب.
- لا يمكن أن تتأثر عملية حساب قيمة المنوال بالقيم القصوى للبيانات.
- أنه يمكن حساب قيمة المنوال بسهولة في مجموعة البيانات المحددة وفي توزيع ذو تردد منفصل.
- أن حساب المنوال مفيد جدًا في فهم وتحديد مجموعة البيانات النوعية.
- أنه يمكن حساب المنوال عن طريق استخدام جدول ذو تردد مفتوح.
- أنه يمكن حساب المنوال لمجموعة البيانات بيانيًا.
- أنه لا يمكن تحديد قيمة المنوال داخل مجموعة من البيانات التي لا تحتوي على قيم مكررة.
- لا يعتمد حساب قيمة المنوال على جميع القيم الموجودة في مجموعة البيانات.
- أن المنوال يكون غير مستقر في حال كانت مجموعة البيانات مكونة من عدد صغير من القيم.
استخدامات المنوال
يعتبر المنوال ذا فائدة كبيرة عند فحص البيانات الفئوية، حيث يستخدم في العديد من المجالات في الحياة العملية، مثل حساب نماذج السيارات أو نكهات العصائر أو الصودا، أو الملابس وغيرها من السلع، أو لإيجاد معدلات الطلاب، وفي مجال العلوم المالية والمصرفية، ومن أهم الأمثلة على استخدام المنوال في الحياة العملية هو شركات صناعة الأحذية حيث تعمل على إنتاج كمية من الأحذية ذات مقاسات الأقدام الأكثر انتشارًا بين أفراد المجتمع، فتعمل على إنتاج أعداد كبيرة من الأحذية ذات المقاسات 37-38-39، إذ تم تحديد هذه المقاسات بالاعتماد على مفهوم المنوال.
يمكن أن يكون المنوال أيضاً في مجموعة البيانات مساوٍ لقيمة الوسط الحسابي أو الوسيط، وقد تم تطوير دالة المنوال في البرمجيات الحاسوبية مثل برنامج الإكسيل لمعرفة العدد الأكثر تكرارًا للبيانات بطريقة سهلة وسريعة، وقد تمّ استبدال هذه الدالة بدوال أخرى والتي توفر دقة أكبر في الحساب.
أمثلة متنوعة عن المنوال
- تم تسجيل عدد الزوار لمتحف سياحي على مدى 10 أيام، وذلك حسب القيم الواردة في الجدول التالي، المطلوب إيجاد قيمة المنوال:
| 150 | 153 | 158 | 170 | 170 | 175 | 179 | 188 | 190 | 190 |
تم ترتيب القيم تصاعدياً، وقد تكرر العددان 170 و 190 مرتين لكل رقم، وبذلك يكونان هما المنوال، لأنّهما الأكثر تكراراً.
- عدّ أحد الطلاب عدد صفحات 10 فصول في كتاب ما، وكانت النتائج كما في الجدول التالي، المطلوب إيجاد قيمة المنوال.
| 45 | 50 | 50 | 50 | 73 | 77 | 78 | 80 | 90 | 90 |
تم ترتيب البيانات تصاعدياً، فكان الرقم 50 الأكثر تكراراً وبذلك يكون هو المنوال.
- سأل الأستاذ طلابه عن عدد إخوة كل واحد منهم، وكانت الإجابات كالآتي، المطلوب إيجاد قيمة المنوال:
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 5 |
تم ترتيب القيم تصاعدياً، فكار الرقم 1 الأكثر تكراراً، وبذلك يكون هو المنوال.
- تقدم 9 طلاب لأداء أحد الامتحانات في المدرسة، فكانت نتائجهم كالآتي، المطلوب إيجاد قيمة المنوال:
| 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 8 | 8 | 8 | 8 | 9 |
تم ترتيب القيم تصاعدياً، وكان العدد الأكثر تكراراً هو 4و8، وبذلك يكون المنوال هو 4 و8.
- ظهرت نتائج اختبارات عدد من الطلاب، فكانت العلامات التي حصلوا عليها كالآتي، المطلوب إيجاد قيمة المنوال:
| 10 | 12 | 15 | 17 | 19 | 20 | 22 | 22 | 23 | 24 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 28 |
| 28 | 29 | 30 | 31 | 23 | 23 | 36 | 36 | 38 | 39 | 40 | 41 | 43 | 45 | 47 | 50 |
- تم تقسيم البيانات إلى مجموعات كالآتي:
- مجموعة بين 10-19: تضم 5 قيم.
- مجموعة بين 20-29: تضم 13 قيمة.
- مجموعة بين 30-39: تضم 8 قيم.
- مجموعة بين 40-50: تضم 6 قيم.
- تم تحديد الفئة المنوالية عن طريق تحديد المجموعة الأكثر تكراراً، وهي الفئة 30-20 لأن عدد تكراراتها 13، في هذه الحالة نأخذ العدد المتوسط من الأرقام في المجموعة وهو العدد 25 ليكون هو المنوال.
