دليلك الشامل عن مساحة المثلث ومحيطه والزوايا : اقرأ

جدول المحتويات

المثلث (بالإنجليزية: Triangle)، هو شكل هندسي أساسي من الأشكال الهندسيِّة في علم الرياضيات والهندسة، وهو مُضلَّع له ثلاثة أضلاع متلاصقة ببعضها البعض وتكوِّن بذلك محيطه، وثلاث زوايا مجموعها يساوي 180 درجة، وثلاثة رؤوس، وتنقسم المثلثات إلى أنواع مختلفة بناءً على قياس زوايا المثلث الداخليّة إلى المثلثات الحادّة، والمثلثات منفرجة الزاوية، والمثلثات قائمة الزاوية، بالإضافة إلى أنّها تنقسم بناءّ على أطوال أضلاع المثلث إلى المثلث متساوي الأضلاع، والمثلث متساوي الساقين، والمثلث مختلف الأضلاع، وتختلف جميع هذه المثلثات في خصائصها، وصفاتها، ومساحتها، ومحيطها، ويكون القانون العام لمساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع، والقانون العامّ لمحيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه.

يتحدث المقال عن مساحة المثلث ومحيطه والزوايا، ويشمل:

تعريف المثلث، وخصائصه، وأنواعه.
قوانين مساحة المثلث.
قوانين محيط المثلث.
ارتفاعات المثلث وعددها لجميع أنواعه.
زوايا المثلث، وأنواعها، وقياسها.
الزوايا الداخليّة والخارجية للمثلث.
شرح وأمثلة عن المواضيع الآتية:
- ايجاد طول ضلع مثلث بمعلومية ضلعين وزاوية.
- النسب المثلثيّة الاساسيّة للمثلث قائم الزاوية.
- طول الضلع المقابل للزاوية 30 درجة في المثلث القائم.

ما هو المثلث ؟

يُمكن تعريف المثلث (بالإنجليزية: Triangle) على أنّه شكل هندسي أساسي من الأشكال الهندسيِّة في علم الرياضيات والهندسة، وهو مُضلَّع له ثلاثة أضلاع متلاصقة ببعضها البعض وتكوِّن بذلك محيطه، وثلاث زوايا مجموعها 180 درجة، وثلاثة رؤوس.

في المستوى الثنائي يكون للمثلث زوج من الإحداثي السيني وزوج من الإحداثي الصّادي، وتوجد عدّة أنواع للمثلث تختلف في خصائصها، ومنها:

المثلث متساوي الأضلاع.
المثلث متساوي الساقين.
مثلث مختلف الأضلاع.

أيضاً تختلف قياسات الزوايا لأنواع المثلث المختلفة، فلكلٍ منها قياسات زواياه الخاصّة به، ومنها:

المثلث قائم الزاوية.
المثلث منفرج الزاوية.
المثلث حادّ الزوايا.

خصائص المثلث

زوايا المثلث عددها ثلاثة، ومجموعها يساوي 180 درجة.
ناتج جمع أي ضلعيّن من أضلاع المُثلث يكون أكبر من طول الضلع الثالث.
ناتج طرح أي ضلعين من أضلاع المثلث يساوي أقل من طول الضلع الثالث له.
الضلع الأطول في المثلث هو الضلع الذي يقابل أكبر زاوية من زوايا المثلث.
يمتلك المثلث خاصيّة الزاوية الخارجيّة، والتي تعني أنَّ مجموع الزاويتين الداخليّتين والبعيدتيّن في المثلث يساوي قياس الزاوية الخارجيّة للمثلث.
إذا كان طول أضلاع مثلثين والزوايا المتقابلة لهم متساويّة، فهذا يعني أنّ المثلثين متشابهين.
مساحة المثلث بشكل عامّ = ½ × القاعدة × الارتفاع.
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه بغض النظر عن تشابههم بالقيمة أو اختلافهم.

أنواع المثلثات

قياس زوايا المثلث الداخليّة، وينقسم إلى:
- المثلثات حادّة الزاوية.
- المثلثات منفرجة الزاوية.
- المثلثات قائمة الزاوية.
أطوال أضلاع المثلث، وينقسم إلى:
- المثلث متساوي الأضلاع.
- المثلث متساوي الساقين.
- المثلث مختلف الأضلاع.

المثلثات الحادة

المثلثات الحادّة (بالإنجليزيّة: Acute Triangles)؛ يكون قياس زوايا المثلثات الحادّة أقل من 90 درجة، وعلى سبيل المثال: المثلث أ ب ج، فيه قياس الزاوية أ ب ج = 75 درجة، وقياس الزاوية ب ج أ = 32 درجة، وقياس الزاوية ج ب أ = 73 درجة، فإنّه مثلث حادّ لأنّ قياس زواياه أقل من 90 درجة.

المثلثات منفرجة الزاوية

المثلثات منفرجة الزاوية (بالإنجليزيّة: Obtuse Triangles)؛ يكون قياس زاوية واحدة من زوايا المثلث منفرجة؛ أي أكبر من 90 درجة، وعلى سبيل المثال: المُثلث أ ب ج، قِياس الزاوية أ ب ج فيه يساوي 37 درجة، وقياس الزاوية ب ج أ يساوي 22 درجة، وقياس الزاوية ج ب أ يساوي 121 درجة، فإنَّه مثلث منفرج الزاوية لأنَّ قياس الزاوية ج ب أ فيه أكبر من 90 درجة.

المثلثات قائمة الزاوية

المثلثات قائمة الزاوية (بالإنجليزية: Right Triangles)؛ يكون قياس زاوية واحدة من زوايا المثلث قائمة؛ أي تساوي 90 درجة، وعلى سبيل المثال: المُثلث أ ب ج، قِياس الزاوية أ ب ج فيه يساوي 90 درجة، وقياس الزاوية ب ج أ يساوي 22 درجة، وقياس الزاوية ج ب أ يساوي 68 درجة، فإنَّه مثلث قائم الزواية لوجود الزاوية أ ب ج، والتي تساوي 90 درجة.

مثلث متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع (بالإنجليزيّة: Equilateral Triangle)؛ يتكون من ثلاثة أضلاع لها نفس الطول، وهذا التساوي في الطول يسبِّب التساوي في قياسات الزوايا الثلاث للمثلث، ويكون قياس كل زاوية منها يساوي 60 درجة.

مثلث متساوي الساقين

المثلث متساوي الضلعين (بالإنجليزيّة: Isosceles Triangle)؛ يتكون من ضلعين لهما نفس الطول، وهذا التساوي يسبِّب تساوي الزاويتين المتجاورتين في قياسهما، بالإضافة إلى أنّهم يمثّلون زاويتا قاعدة المثلث.

مثلث مختلف الأضلاع

المثلث مختلف الأضلاع (بالإنجليزيّة: Scaline Triangle)؛ يتكون من ثلاثة أضلاع مختلفة في طولها، وينتج عن هذا الاختلاف اختلاف في قياس زوايا المثلث أيضاً.

مساحة المثلث

القانون العام لحساب مساحة المثلث هو: المساحة = ½ × القاعدة × الارتفاع.

قانون مساحة المثلث

تمثِّل مساحة المثلث (بالإنجليزيّة: Area of Triangle)؛ كميّة الفراغ الذي يشغله المثلث وتساوي كميّة بالوحدة المربّعة.

مساحة المثلث القائم

يُمكن حساب مساحة المثلث قائم الزاوية بناءً على:

طول قاعدة المثلث وارتفاعه باستخدام القانون: مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع.
- بالرموز مساحة المثلث = م = ½ × ل × ع، حيث إنَّ: م: مساحة المثلث، ل: طول القاعدة، ع: الارتفاع.

بناءً على صيغة هيرون التي يمكن استخدامها لإيجاد مساحة المثلث عند معرفة أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، بالإضافة إلى نصف محيط المثلث عن طريق القانون التالي:

مساحة المثلث = الجذر التربيعي للمقدار ((نصف المحيط × (نصف المحيط – الضلع الأول) × (نصف المحيط – الضلع الثاني) × (نصف المحيط – الضلع الثالث)).
بالرموز: مساحة المثلث = م = الجذر التربيعي للمقدار [ س × ( س – ل ) × ( س – ع ) × ( س – و ) ] حيث إنَّ: م: مساحة المثلث، ل: طول القاعدة، ع: الارتفاع، و: الوتر، س: نصف المحيط.
يمكن حساب قيمة نصف المحيط بناءً على القانون التالي: نصف المحيط = ( الضلع الأول + الضلع الثاني + الضلع الثالث ) / 2.، وبالرموز: س = ( ل + ع + و ) / 2.

مساحة المثلث متساوي الاضلاع

نستطيع حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع بناءً على ما يلي:

طول قاعدة المثلث وارتفاعه باستخدام القانون التالي:
- مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع.
- بالرموز: م = ½ × س × ع ، حيث إنَّ: س: طول ضلع المثلث متساوي الساقين، م: مساحة المثلث متساوي الأضلاع، ع: ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع.
بناءً على قانون المساحة الخاصّ به التالي:
- مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (مربع طول الضلع × ( الجذر التربيعي للعدد ( 3 ) / 4 ))
- بالرموز: م = س²× 4/ (3)√، حيث إنَّ: س: طول ضلع المثلث متساوي الساقين، م: مساحة المثلث متساوي الأضلاع.

ملاحظة: نستطيع كتابة القانون الذي سبق بالشكل التالي: م = س² × 0.4333، حيث إنَّ 4 / (3)√ = 0.4333.

نستطيع توضيح طريقة الاشتقاق للقانون السابق كما يلي:

نقوم بتنصيف قاعدة المثلث عن طريق إسقاط عمود من رأس المثلث إلى قاعدته، وبالتالي نحصل على نصفين متساويين كل نصف منهما يساوي س / 2، بعد ذلك نقوم بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث، فإذا كان ارتفاع العمود من رأس المثلث إلى القاعدة يساوي ع فإنَّ:
س² = ( س / 2 )² + ع² ، ومنه س² = س² / 4 + ع² ، وبعد ترتيب المعادلة بنقل س² / 4 إلى الطرف الآخر منها تصبح س² – س² / 4 = ع² ومنه:
¾ س² = ع²، وبعدها نأخذ الجذر التربيعي لكل طرف منهما فيصبح الناتج: ع = 2/(3)√× س.
باستخدام القانون العامّ لحساب مساحة المثلث المساحة = ½ × القاعدة × الارتفاع = ½× س × ع = ½ × س × (2/(3)√)× س، ومنه نجد أنَّ مساحة المثلث متساوي الأضلاع = س² × 4 / (3)√.

مساحة المثلث متساوي الساقين

يحتوي المثلث متساوي الساقين على ضلعين من بين أضلاعه لهما المقدار نفسه من الطول، ونستطيع حساب مساحة المثلث متساوي الساقين من خلال عدّة قوانين كما يلي:

استخدام القانون العام؛ يمكن حساب مساحة المثلث متساوي الساقين من خلال القانون العام لمساحة المثلث وهو:
- مساحة المثلث متساوي الساقين = ½ × القاعدة × الارتفاع.
- بالرموز: م = ½ × ق × ع ، حيث إنَّ: م: مساحة المثلث متساوي الساقين، ق: طول قاعدة المثلث، ع: ارتفاع المثلث.
يُمكن استخدام القانون التالي بشرط معرفة طول قاعدة المثلث، بالإضافة إلى طول واحد من الضلعيّن المتساوييّن كما يلي:
- مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي للمقدار ( 4 × (طول واحد من الضلعيّن المتساوييّن)² – (طول القاعدة)²) / 4.
- مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي للمقدار ( 4 × (طول واحد من الضلعيّن المتساوييّن)² – (طول القاعدة)²) / 4.
- بالرموز: م = ق × الجذر التربيعي للمقدار( 4 × ل² – ق² ) / 4 ، حيث إنَّ: م: مساحة المثلث متساوي الساقين، ق: طول قاعدة المثلث، ل: طول أحد الضلعيّن المتساوييّن.

يمكن استخدام القانون التالي لحساب مساحة المثلث متساوي الساقين بشرط معرفة طول القاعدة الخاصّة بالمثلث، وقياس أحد الزوايتيّن المتساويتيّن لهذه القاعدة كما يلي:
- مساحة المثلث متساوي الساقين = ( طول القاعدة² × (ظا ( زاوية القاعدة ) / 4 )).
- بالرموز: م = ( ب² × (ظا ( θ / 4))) ، حيث إنَّ: م: مساحة المثلث متساوي الساقين، ق: طول قاعدة المثلث، θ: قياس أحد زاويتيّ القاعدة المتساويتيّن.
عند معرفة طول واحد من الضلعيّن المتساوييّن (ل)، بالإضافة إلى معرفة قياس زاوية رأس المثلث، فمن الممكن حساب المساحة باستخدام القانون التالي:
- مساحة المثلث متساوي الساقين = مربع طول أحد الضلعيّن المتساوييّن × جا (زاوية الرأس) / 2.
- بالرموز: م = ½ × ل² × جا α ، حيث إنَّ: م: مساحة المثلث متساوي الساقين، ل: طول أحد الضلعين المتساويين، α: قياس زاوية رأس المثلث.

مساحة المثلث مختلف الاضلاع

نستطيع حساب مساحة المثلث مختلف الأضلاع من خلال استخدام:

صيغة هيرون، والتي نحتاج فيها لمعرفة أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، بالإضافة إلى نصف محيط المثلث، وعن طريق القانون الآتي:
- مساحة المثلث = الجذر التربيعي للمقدار ((نصف المحيط × (نصف المحيط – الضلع الأول) × (نصف المحيط – الضلع الثاني) × (نصف المحيط – الضلع الثالث)).
- وبالرموز: مساحة المثلث = م = الجذر التربيعي للمقدار [ س × ( س – ل ) × ( س – ع ) × ( س – و ) ] حيث إنَّ: م: مساحة المثلث، ل: طول القاعدة، ع: الارتفاع، و: الوتر، س: نصف المحيط.
- يمكن حساب قيمة نصف المحيط بناءً على القانون التالي:
- نصف المحيط = ( الضلع الأول + الضلع الثاني + الضلع الثالث ) / 2.
- بالرموز: س = ( ل + ع + و ) / 2.

مساحة مثلث متساوي الاضلاع داخل دائرة

نستطيع حساب مساحة المثلث المرسوم داخل دائرة نصف قطرها يساوي “نق” باستخدام القانون التالي:

مساحة مثلث داخل دائرة= (طول الضلع الأول × طول الضلع الثاني × طول الضلع الثالث ) / ( 4 × نق).

محيط المثلث

محيط المثلث (بالإنجليزيّة: Perimeter)؛ هو المسافة الكليّة الموجودة حول حدود المثلث، والمحيط بشكل عام المسافة الكليّة الموجودة حول حدود الشكل الهندسي التي تحيطه من الخارج بغض النظر عن نوعه، وتكون وحدة قياسه نفسها وحدة قياس أطوال أضلاع الشكل الهندسي بالياردة، أو المتر، أو السنتيمتر، والعديد من الوحدات، والمثلث أبسط شكل هندسي وحساب محيطه سهل جداً.

قانون محيط المثلث

يمكن حساب محيط المثلث باستخدم قانون محيط المثلث (بالإنجليزيّة: Formula for Perimeter of a Triangle) كالتالي:

محيط المثلث يُساوي مجموع أطوال أضلاعه.
بالرموز: محيط المثلث = أ + ب + ج ، حيث إنَّ:
- أ: طول أول أضلاع المثلث.
- ب: طول ثاني أضلاع المثلث.
- ج: طول ثالث أضلاع المثلث.

محيط المثلث القائم

يُمكن حساب محيط المثلث قائم الزاوية باستخدام ما يلي:

القانون العامّ لإيجاد محيط المثلث، وتكون من خلال حساب مجموع أطوال أضلاعه أ، ب، ج.
- بالرموز: محيط المثلث = أ + ب + جـ ، حيث إنَّ: أ، ب: هما طول ضلعي القائمة، ويمثّلان ارتفاع المثلث القائم، جـ: هو طول الوتر في المثلث القائم.
نستطيع تمثيل هذا القانون بصيغة أخرى باستخدام نظريّة فيثاغورس كما يلي:
- نظريّة فيثاغورس تقول أنَّ مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة بالمثلث قائم الزاوية يساوي مربع طول الوتر.
- بالرموز: جـ² = أ ²+ ب² ومنه جـ = الجذر التربيعي للمقدار ( أ² + ب²) .
- عند تعويض قيمة الوتر في قانون محيط المثلث القائم = أ + ب + ج .
- يُصبح لدينا: محيط المثلث القائم = أ + ب + الجذر التربيعي للمقدار ( أ² + ب² ).
- بهذا القانون يُمكن إيجاد محيط المثلث من غير الحاجة لمعرفة الوتر.

محيط المثلث متساوي الاضلاع

نستطيع حساب محيط المثلث متساوي الأضلاع؛ أي كانت أطوال أضلاعه متساويّة في قياسها، عن طريق القانون التالي:

محيط المثلث = أ × 3 ، حيث إنّ: أ= طول أحد أضلاع المثلث.
مثال: مثلث متساوي الأضلاع، وطول الضلع الواحد له يساوي 16سم، أوجد محيط المثلث.
- الحل: محيط المثلث متساوي الأضلاع = 3 × أ.
- المحيط = 3 × 16 = 48سم.

محيط المثلث متساوي الساقين

في حال كان المثلث متساوي الساقين، فإنّه من الممكن حساب محيطه بناءً على حالة المثلث كما يلي:

إذا كان المثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية يكون حساب محيطه باستخدام القانون التالي:
- محيط المثلث = أ + ( 2 + ( 2 ^ (½))) ، حيث إنّ: أ = أحد ضلعيّ المثلث المتساوييّن.
قام العلماء باشتقاق هذا القانون بالرجوع إلى القانون العام لإيجاد محيط المثلث، وهو مجموع أطوال أضلاعه، فإذا كان “أ” هو طول أحد الضلعيّن المتساوييّن في المثلث، باستخدام نظرية فيثاغورس يُمكن اشتقاق القانون السابق كما يلي:
- الوتر² = أ²+ أ² = 2 × أ² ، بأخذ الجذر التربيعي للطرفين يصبح لدينا:
- الوتر= أ × 2^( ½ ) ، ومنه:
- المحيط = مجموع أطوال أضلاع المثلث = أ + أ + ( أ × 2 ^ ( ½ )) ، ومنه:
- المحيط = ( 2 × أ ) +(أ × 2 ^ ( ½ )) ، وبأخذ ” أ ” عامل مشترك من الطرفين يُصبح لدينا:
- المحيط = أ × ( 2 + ( 2 ^ ( ½ ))) .
إذا كان المثلث متساوي الساقين وغير قائم الزاوية يكون حساب محيطه باستخدام القانون التالي:
- محيط المثلث متساوي الساقين = 2 × أ + ب ، حيث إنَّ:
  - أ: طول أحد الضلعيّن المُتساوييّن.
  - ب: طول قاعدة المثلث.

محيط المثلث مختلف الاضلاع

يمُكن حساب محيط المثلث مختلف الأضلاع باستخدام القانون العام لحساب محيط المثلث، وهو:

محيط المثلث مختلف الأضلاع = أ + ب + ج ، حيث إنَّ:
- أ: طول الضلع الأول للمثلث.
- ب: طول الضلع الثاني للمثلث.
- ج: طول الضلع الثالث للمثلث.

محيط مثلث منفرج الزاوية

قام علماء الرياضيات باشتقاق قوانين ومعادلات أخرى خاصة بالمثلثات لحساب محيطه في حال لم تكن أطوال أضلاع المثلث معلومة، ويمكن ذلك في حال كانت بعض المعلومات متاحة، وهي: ضلعيّ المثلث، وقياس الزاوية المحصورة بينهما، حيث يمكن باستخدام هذه المعطيات حساب محيط المثلث من خلال استعمال قانون جيب تمام الزاوية كالآتي:

محيط المثلث = أ + ب + ( أ² + ب² – ( 2 × أ × ب × جتا (س))) ، حيث إنّ:
- أ = طول الضلع الأول المجاور للزاوية س.
- ب = طول الضلع الثاني المجاور للزاوية س.
- جتا (س) = جيب تمام الزاوية الواقعة بين الضلعين أ و ب.

ارتفاع المثلث

ارتفاع المثلث (بالإنجليزيّة: Triangle Altitude)؛ هو الخط العمودي الذي يمتد من رأس المثلث وحتى قاعدة المثلث، وهو أقصر مسافة بينهم، فقاعدة المثلث تواجه الرأس الذي امتدّ منه الخط العمودي.

قانون ارتفاع المثلث

يختلف قانون ارتفاع المثلث باختلاف نوع المثلث، وسيتم توضيح قانون الارتفاع لكلٍ من أنواع المثلثات المختلفة كالتالي:

ارتفاع المثلث قائم الزاوية

باستخدام نظريّة فيثاغورس فإنّ:

الوتر² = القاعدة² + الارتفاع² ، وبعد ترتيب المعادلة بنقل (الارتفاع)²إلى الطرف الأيمن ونقل (الوتر)² إلى الطرف الأيسر وأخذ الجذر التربيعي للطرفين يُصبح لدينا:
الارتفاع = الجذر التربيعي للمقدار ( (الوتر)² – (القاعدة)² ) ، وبهذا القانون يتم حساب الارتفاع في المثلث قائم الزاوية.
مثال: مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 3سم، وطول الوتر 5سم، أوجد ارتفاعه.
- الحل: باستخدام القانون السابق الخاصّ بالمثلث قائم الزاوية فإنَّه:
- الارتفاع = الجذر التربيعي للمقدار ( (الوتر)² – (القاعدة)² ) = الجذر التربيعي للمقدار ( 5²–3²)= الجذر التربيعي للعدد 16 = 4سم.
- الارتفاع = 4سم.

ارتفاع المثلث متساوى الساقين

هناك طريقتان لإيجاد ارتفاع المثلث متساوي الساقين كما يلي:

الطريقة الأولى: نستطيع استعمال نظريّة فيثاغورس لإيجاد ارتفاع المثلث متساوي الساقين فيها، وذلك إذا علمنا كل من: طول قاعدة المثلث متساوي الساقين، وطول أحد ضلعيّه المتساوييّن، وبعد معرفة هذه المعلومات عن المثلث متساوي الساقين يمكن استخدام هذه الخطوات التالية بالترتيب لإيجاد ارتفاعه كما يلي:
- نقوم بإنزال عمود من رأس المثلث متساوي الساقين وحتى قاعدته، وبهذا نحصل على مثلثين متطابقين قائما الزاوية، والعمود الساقط يمثّل ارتفاع المثلث قائم الزاوية وهو نفسه ارتفاع المثلث متساوي الساقين.
- الأخذ بالاعتبار أنَّ الوتر نفسه أحد الضلعيّن المتساوييّن في المثلث متساوي الساقين.
- الأخذ بالاعتبار أنَّ طول نصف قاعدة المثلث متساوي الساقين هو نفسه طول قاعدة المثلث قائم الزاوية، وهو نفسه طول الضلع الثاني.
- تطبيق قانون نظرية فيثاغورس:
  - الوتر² = القاعدة² + الارتفاع² ، نقوم بترتيبها يُصبح لدينا:
  - الارتفاع = الجذر التربيعي للمقدار (الوتر² – القاعدة²) .

مثال: مثلث متساوي الساقين، فيه طول أحد ضلعيّه المتساوييّن 7سم، وطول قاعدته 8سم، جد ارتفاعه.
الحل: حسب الخطوات السابقة:
- إنزال عمود من رأس المثلث وحتى قاعدته، وبهذا ينقسم المثلث متساوي الساقين إلى مثلثين قائمي الزاوية ومتطابقين.
- استخدام نظريّة فيثاغورس على واحد من المثلثات قائمة الزاوية، واعتبار أنّ طول الوتر هو نفسه طول أحد الأضلاع المتساوية ويساوي 7سم، وطول قاعدة المثلث قائم الزاوية يساوي طول قاعدة المثلث متساوي الساقين / 2 = 8 / 2 = 4سم.
- تطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين قائمي الزاوية كالآتي:
- الارتفاع = الجذر التربيعي للمقدار (الوتر² – القاعدة² ) = الجذر التربيعي ( 49 – 16 ) = 5.74سم تقريباً.

الطريقة الثانية: نستطيع استخدام الاقترانات المثلثيّة لحساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين، وذلك بعد إنزال عمود من رأس المثلث وحتى قاعدته للحصول على مثلثين قائمي الزاوية، وأيضاً يجب معرفة قياس إحدى زواياه، وأحد أضلاعه، وذلك كما يلي:
- جيب الزاوية = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- جيب تمام الزاوية = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.

مثال: مثلث متساوي الساقين طول أحد الساقين 9سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 100°، جد ارتفاعه.
الحل: نقوم بتطبيق الخطوات التالية:
- إنزال عمود من رأس المثلث متساوي الساقين باتجاه قاعدة المثلث، وتنصيف كل من زاوية الرأس والقاعدة، وبهذا يتشكّل مثلثان قائما الزاوية ومتطابقان أيضاً.
- الوتر نفسه أحد ساقي المثلث متساوي الساقين.
- زاوية الرأس = 100 / 2 = 50 درجة.
- باستعمال قانون جيب تمام الزاوية:
- جتا س = الضلع المُجاور للزاوية س ( وهو نفسه ارتفاع المثلث ) / الوتر ، يُصبح:
- جتا س = الارتفاع / الوتر، ومنه:
- جتا 50° = الارتفاع / 9 ، إذن:
- الارتفاع = جتا 50°× 9 = 5.79سم تقريباً.

اقرأ أيضاً: أنواع الاقتصاد

ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع

تتساوى الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع وتكون جميعها 60 درجة، وتتساوى أطوال أضلاعه أيضاً، ويمكن إيجاد ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع باستخدام طريقتين هما:

الطريقة الأولى استخدام القانون التالي:
- الارتفاع = (طول الضلع×3√) / 2 .
- مثال: مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 10سم، جد ارتفاعه.
- الحل: باستخدام القانون السابق فإنَّ الارتفاع = ( طول الضلع × 3√ ) / 2 .
- = ( 10 × 3√ ) / 2 = 3√5 = 8.66سم تقريباً .

الطريقة الثانية هي إيجاد ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع كالتالي:
- استعمال نظريّة فيثاغورس إذا علمنا كل من: ول قاعدة المثلث متساوي الأضلاع، وطول أحد أضلاعه المتساوية.، فبعد معرفة هذه المعلومات عن المثلث متساوي الأضلاع، يمكن استخدام هذه الخطوات التالية بالترتيب لإيجاد المحيط له:
- نقوم بإنزال عمود من رأس المثلث متساوي الأضلاع وحتى قاعدته، وبهذا نحصل على مثلثين متطابقين قائما الزاوية، والعمود الساقط يمثّل ارتفاع المثلث قائم الزاوية وهو نفسه ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع.
- الأخذ بالاعتبار أنَّ الوتر نفسه أحد الأضلاع المتساوية في المثلث متساوي الأضلاع.
- الأخذ بالاعتبار أنَّ طول نصف قاعدة المثلث متساوي الأضلاع هو نفسه طول قاعدة المثلث قائم الزاوية.
- تطبيق قانون نظرية فيثاغورس:
  - (الوتر)² = (القاعدة)² + (الارتفاع)² ، نقوم بترتيبها يُصبح لدينا:
  - الارتفاع = الجذر التربيعي للمقدار ( (الوتر)² – (القاعدة)² ).

ارتفاع المثلث مختلف الأضلاع

يمكن حساب مساحة المثلث مختلف الأضلاع بالقانون العام لمساحة المثلث وهو:

مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع.
- ومنه يمكن حساب الارتفاع بترتيب المعادلة فنحصل على:
- الارتفاع = ( 2 × مساحة المثلث ) / طول القاعدة .
مثال: مساحة مثلث مختلف الأضلاع تساوي 16.4 سم²، وطول قاعدته 4.8 سم، جد ارتفاعه.
- الحل: بتطبيق قانون:
- الارتفاع = ( 2 × مساحة المثلث ) / طول القاعدة ، نعوّض المعطيات بالقانون ونحصل على:
- الارتفاع = ( 2 × 16.4 ) / 4.8 = 6.83 سم تقريباً.

عدد ارتفاعات المثلث

يمكن تعريف ارتفاعات المثلث بأنَّها القطع العموديّة الساقطة من جميع رؤوس المثلث وحتى الأضلاع التي تقابل كل رأس فيه.

كم عدد ارتفاعات المثلث ؟

يكون عدد ارتفاعات أي مثلث باختلاف نوعه يساوي ثلاثة ارتفاعات.

عدد ارتفاعات المثلث القائم

عدد ارتفاعات المثلث القائم الزاوية يساوي ثلاثة ارتفاعات، ولا يمكن رسمها جميعاً عند المحاولة، ولا يمكن رسم سوى ارتفاع واحد فقط، وهو الارتفاع الذي يخرج من الزاوية القائمة، أمّا بالنسبة للارتفاعيّن الآخريّن فإنَّه عند محاولة رسمهم سنجد أنَّهم نفس أضلاع المثلث؛ أي ضلع القاعدة وضلع الارتفاع.

عدد ارتفاعات المثلث المنفرج الزاوية

يساوي عدد ارتفاعات المثلث منفرج الزاوية ثلاثة ارتفاعات، ويمكن رسم الارتفاعات الثلاثة جميعها.

عدد ارتفاعات المثلث الحاد

يساوي عدد ارتفاعات المثلث حادّ الزوايا ثلاثة ارتفاعات، ويمكن رسم الارتفاعات الثلاثة جميعها.

عدد ارتفاعات المثلث متساوي الساقين

يساوي عدد ارتفاعات المثلث متساوي الساقيّن ثلاثة ارتفاعات.

عدد ارتفاعات المثلث متساوي الأضلاع

يساوي عدد ارتفاعات المثلث متساوي الأضلاع ثلاثة ارتفاعات.

عدد ارتفاعات المثلث مختلف الأضلاع

يساوي عدد ارتفاعات المثلث مختلف الأضلاع ثلاثة ارتفاعات.

زوايا المثلث

هناك عدة أنواع لزوايا المثلث، ولكل نوع اسم خاص به ويدل على قياسها، وسيتم توضيحها بالتفصيل.

أنواع زوايا المثلث

الزاوية الحادة

يحتوي أي مثلث بغض النظر عن نوعه إلى ثلاث زوايا، فالمثلث حادّ الزوايا يحتوي على ثلاث زوايا حادّة (بالإنجليزيّة: Acute Angles) قياسها يكون أكبر من 0 درجة وأقل من 90 درجة، ولا يمكن أن يكون قياسها 90 درجة، وذلك لأنَّ الزاوية القائمة (بالإنجليزيّة: Right Angles) قياسها 90 درجة.

الزاوية المستقيمة

(بالإنجليزيّة: Straight Angle)؛ هي الزوايا التي يكون قياسها 180 درجة، فهي تبدو كالخط المستقيم.

الزاوية المنفرجة

يمتلك المثلث منفرج الزاوية على زاوية مُنفرجة (بالإنجليزيّة: Obtuse Angle) وحيدة ويكون قياسها أكبر من 90 درجة، وأصغر من 180 درجة.

الزاوية المنعكسة

(بالإنجليزيّة: Reflex Angle)؛ ويكون قياسها أكبر من 180 درجة، وأصغر من 360 درجة.

الزاوية الكاملة

(بالإنجليزيّة: Full Angle)؛ وهي الزوايا التي يكون قياسها 360 درجة كاملةً، أي أنَّها تدور دورة كاملة؛ بحيث تبدأ من نقطة محدّدة، وينتهي مدارها عند نفس النقطة التي بدأت منها.

قياس زوايا المثلث

يضم المثلث 3 زوايا، ويساوي مجموع زواياه الداخليّة 180 درجة مهما اختلف نوعه، وبالرموز: س+ص+ع = 180 درجة ، حيث إنَّ: س، ص، ع، تُمثّل زوايا المثلث.

حساب زوايا المثلث مختلف الاضلاع

يساوي مجموع قياس زوايا المثلث مختلف الأضلاع 180 درجة، وبالرموز: س+ص+ع = 180 درجة، حيث إنَّ: س، ص، ع : زوايا المثلث مختلف الأضلاع الثلاث.

حساب زوايا المثلث متساوي الاضلاع

دائماً يكون قياس كل زاوية من زوايا المثلث متساوي الأضلاع يساوي 60 درجة، والسبب أنَّ المثلث متساوي الأضلاع يكون متساوي في زواياه أيضاً، وبالرموز: إذا افترضنا أنَّ الزاوية الواحدة فيه تساوي 30 درجة، يُصبح لدينا س + س + س = 3 س = 180 درجة وهو مجموع زوايا أي مثلث، وبقسمة الطرفين على ” 3 “ يكون الناتج س = 60 درجة.

حساب زوايا المثلث متساوي الساقين

في المثلث متساوي الساقين يكون قياس الزاويتين عند قاعدته متساويتين، ويكون مجموع زوايا المثلث كالتالي:

مجموع زوايا المثلث متساوي الساقين = 180 = (( 2 × س) + ص ) ، حيث إنَّ:
- س: قياس أحد زاويتي قاعدة المثلث.
- ص: قياس زاوية رأس المثلث.

حساب زوايا المثلث منفرج الزاوية

يكون مجموع قياس زوايا المثلث منفرج الزاوية = 180 درجة.

مثال: أ ب ج مثلث منفرج الزاوية في هـ وقياسها 110 درجة، والزاوية ب قياسها 40 درجة، جد قياس الزاوية ج.
- الحل: مجموع زوايا المثلث منفرج الزاوية = 180 درجة ، ومنه:
- 110 + 40 + ج = 180 درجة ، بترتيب المعادلة نجد أنَّ الزاوية ج = 180 – 150 = 30 درجة.

مجموع زوايا المثلث

يتكون أي مثلث مهما كان نوعه من ثلاث زوايا داخليّة، وأيضاً يمكن الحصول على زاوية خارجيّة له، وسيتم توضيح ذلك، بالإضافة إلى قياس زواياه الداخليّة منها والخارجيّة كما يلي:

مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلة

يكون مجموع زوايا المثلث الداخليّة مهما كان نوعه يساوي 180 درجة كما في المعادلة:

س + ص + ع = 180 درجة حيث إنَّ:
- س، ص، ع، تُمثّل الزوايا الداخليّة للمثلث.

في بعض الأحيان تكون أحد هذه الزوايا مجهولة، فيُمكن معرفتها عن طريق استخدام القانون السابق وترتيب المعادلة لإيجادها بطرح مجموع الزوايا المعلومة من 180 درجة، وبهذا نحصل على قيمة الزاوية المجهولة.

الزوايا الخارجة عن المثلث

الزاوية الخارجة عن المثلث (بالإنجليزيّة: Exterior Angle)؛ هي زاوية يُمكن الحصول عليها عن طريق رسم خط مستقيم يمتد واحد من أضلاع هذا المثلث، وتكون الزاوية الخارجيّة لهذا المثلث محصورة بين هذا الخط والضلع المجاور لها.

قياس الزاوية الخارجة عن المثلث المتساوي الاضلاع

يُمكن إيجاد قياس الزاوية الخارجة في المثلث متساوي الأضلاع كما في المثال التالي:

مثال: إذا أردنا الحصول على زاوية خارجيّة من المثلث متساوي الأضلاع س، ص، ع، نقوم بالخطوات الآتية:
- نرسم خط مستقيم من ص، ع، ويكون ممتد من من النقطة ع.
- تكون الزاوية الخارجيّة واقعة بين هذا الخط.
- يكون الضلع س ع الزاوية الخارجة عن المثلث، وقياسها يكون يساوي قياس الزاويتين س و ص؛ وذلك لأنَّ الزاوية الخارجة عن المثلث يساوي مجموع الزاويتين البعيدتين عنها.

مثال: إذا كانت الزاوية هـ زاوية خارجة عن المثلث متساوي الأضلاع س ص ع، وتقع بين امتداد القاعدة (ص ع) والضلع ( س ص)، أوجد قياس الزاوية هـ ، إذا علمت أنَّ الزاوية س قياسها يساوي 68 درجة، وقياس الزاوية ع يساوي 63 درجة.
- الحل: قياس الزاوية الخارجة عن المثلث = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين، ومنه:
- قياس الزاوية هـ = قياس الزاوية س + قياس الزاوية ع = 68 + 63 = 131 درجة.

مثال: إذا كانت الزاوية هـ زاوية خارجة عن المثلث س ص ع، وتقع بين امتداد القاعدة (ص ع)، والضلع (س ص)، وكان قياس الزاوية هـ 128 درجة، وقياس الزاوية ع 74 درجة، فما هو قياس الزاوية س.
- الحل: قياس الزاوية الخارجة عن المثلث = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين، ومنه:
- قياس الزاوية هـ = قياس الزاوية س + قياس الزاوية ع ، ومنه:
- قياس الزاوية س = قياس الزاوية هـ – قياس الزاوية ع = 128 – 74 = 54 درجة.

اقرأ أيضاً: أهمية الاقتصاد

أمثلة عن المثلث

سيتم شرح بعض المواضع الخاصّة بالمثلث، بالإضافة إلى حل بعض الأمثلة عليها، وتشمل ما يلي:

ايجاد طول ضلع مثلث بمعلومية ضلعين وزاوية.
النسب المثلثية الاساسية للمثلث قائم الزاوية.
طول الضلع المقابل للزاوية 30 في المثلث القائم.

إيجاد طول ضلع مثلث بمعلومية ضلعين وزاوية

يُمكن إيجاد طول ضلع مثلث بمعلوميّة ضلعيّن وزاوية باستخدام قانون جيب التمام الذي ينص على أنَّ:

مربع طول أي ضلع من أضلاع المثلث = مثلي حاصل ضرب الضلعين الآخرين ببعضهما مضروباً بجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما مطروحاً من مجموع مربعيّ الضلعيّن الآخريّن.
بالرموز: صيغة قانون جيب التمام العامّة:
- أ² = ج² + ب² – (2 × ب × ج × جتا (أَ)).
- ب² = أ² + ج² – (2 × أ × ج × جتا (بَ)).
- ج² = أ² + ب² – (2 × أ × ب × جتا (جَ)).
- حيثُ إنَّ: أ، ب، ج ثمثّل أطوال أضلاع المُثلث.
- كل من (أَ)، (بَ)، (جَ) تمثِّل قياسات الزوايا المقابلة لكل ضلع من الأضلاع.

ملاحظة: لو افترضنا أنَّ المُثلث قائم الزاوية في جَ، ستكون قيمة جتا(جَ) = جتا (90) = 0 ، وبهذا يكون القانون السابق على هذا الشكل: ج² = أ² + ب².
نلاحظ من الصيغة السابقة أنّها تشبه نظريّة فيثاغورس، أي أنَّ قانون جيب تمام الزاوية هو نفسه قانون فيثاغورس، ولكن مع وجود الحد ((2 × ب × ج × جتا (أَ)).
يُمكن كتابة قانون جيب التمام بدلالة جيب التمام للزاوية على هذا الشكل:
- جتا (أَ) = ( ج² + ب² – أ² ) / ( 2 × ب × ج ).
- جتا (بَ) = ( أ² + ج² – ب² ) / ( 2 × أ × جـ).
- جتا (جَ) = ( أ² +ب² – ج² ) / (2 × أ × ب ).

في الأصل قانون جيب التمام هو قانون رياضي استعمله الرياضيون سابقاً في حل المثلث المعلوم منه طولا ضلعيّن فيه، بالإضافة إلى معرفة قيمة الزاوية المحصورة بينهما، ويُطلق الفيزيائيّون على قانون جيب التمام اسم آخر وهو قانون المحصلة بين القوى، وينص هذا القانون على:

“إذا كانت هناك قوتين معلومتين في المقدار، وبينهما زاوية معلومة، ويُراد إيجاد المحصلة بين القوتيّن نستخدم قانون جيب التمام”.

مثال: المثلث أ ب جـ، الضلع (ب ج) = 8سم، والضلع (أ ج) = 5سم، والزاوية في (ج) = 60 درجة، جد طول الضلع (أ ب).
- الحل: باستخدام قانون جيب التمام يُمكن حساب طول الضلع الثالث في المثلث أ ب جـ، وذلك لأننا نملك أطوال الضلعيّن الآخريّن، بالإضافة إلى قيمة الزاوية المحصورة بينهما.
- أ² = ب² + ج² – (2 × ب × ج × جتا (أَ)).
- أ² = 64 + 25 – ( 2× 8 × 5 × جتا (60)).
- أ² = طول الضلع (أ ب) = 49، بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، طول الضلع (أ ب) = 7سم.

حل تمارين على النسب المثلثية الاساسية للمثلث قائم الزاوية

تُعتبر النسب المثلثيّة الأساسيّة خاصّة للمثلث قائم الزاوية، ويُطلق على الضلع المقابل للزاوية القائمة اسم الوتر (بالإنجليزيّة: Hypotenuse)، ويطلق على الضلعيّن الآخريّن الساقين؛ وهما اللذان يشّكلان الزاوية القائمة في المثلث قائم الزاوية، بالإضافة إلى أنَّه يمكن حسابهم للزاويتيّن الباقيتيّن غير القائمتيّن من زوايا المثلث قائم الزاوية.

يوجد ثلاث نسب مثلثيّة أساسيّة وهي:

جيب الزاوية (بالإنجليزيّة: sine): هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية المُراد حساب الجيب لها إلى نسبة طول الوتر في المثلث قائم الزاوية، ويرمز له بالرمز جا (الزاوية).

جيب تمام الزاوية (بالإنجليزيّة: cosine): هو نسبة طول الضلع المجاور للزاوية المُراد حساب جيب التمام لها إلى نسبة طول الوتر في المثلث قائم الزاوية، ويرمز له بالرمز جتا (الزاوية).

ظل الزاوية (بالإنجليزيّة: tangent): هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية المُراد حساب الظل لها إلى نسبة طول الضلع المجاور في المثلث قائم الزاوية، ويرمز له بالرمز ظا (الزاوية) = جا (الزاوية) / جتا (الزاوية).

القاطع (بالإنجليزيّة: secant): هو نسبة طول الوتر للزاوية المُراد حساب القاطع لها إلى نسبة طول الضلع المجاور في المثلث قائم الزاوية، ويرمز له بالرمز قا (الزاوية) = 1/ جتا (الزاوية).

قاطع التمام (بالإنجليزيّة: cosecant): هو نسبة طول الوتر للزاوية المُراد حساب قاطع التمام لها إلى نسبة طول الضلع المقابل في المثلث قائم الزاوية، ويرمز له بالرمز قتا (الزاوية) = 1 / جا (الزاوية).

ظل التمام (بالإنجليزيّة: cotangent): هو نسبة طول الضلع المجاور إلى نسبة طول الضلع المقابل في المثلث قائم الزاوية، ويرمز له بالرمز ظتا (الزاوية) = 1 / ظا(الزاوية) = جتا (الزاوية) / جا (الزاوية).

مثال 1: المثلث أ ب ج، فيه طول الضلع المقابل “أَ” ، والضلع المجاور “بَ” ، وطول الوتر “جَ” جد النسب المثلثيّة جيب، وجيب التمام، والظل له.
- الحل: جيب الزاوية يساوي نسبة الضلع المقابل إلى الوتر = جا (أَ / جَ) .
- جيب التمام يساوي نسبة الضلع المجاور إلى الوتر = جتا (بَ / جَ) .
- ظل الزاوية يساوي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور = ظا (أَ / بَ) .

مثال 2: مثلث قائم الزاوية، فيه طول الوتر يُساوي 6سم، وكان طول الضلع المقابل للزاوية س يُساوي 3سم، جد جيب الزاوية.
- الحل: جا س= الضلع المُقابل للزاوية س / طول الوتر للمثلث = جا س = 3 / 6 = 0.5 ، ومنه الزاوية س = 30 درجة.

مثال 3: مثلث قائم الزاوية، فيه طول الوتر يُساوي 20سم، وكان طول الضلع المقابل للزاوية س يُساوي 17.86 سم، أما طول الضلع المجاور لهذه الزاوية فهو 9 سم، جد جيب، وجيب تمام، وظل هذه الزاوية، والزاوية س.
- الحل: جا س= الضلع المُقابل للزاوية س / الوتر = 17.86 / 20 = 0.893.
- جتا س= الضلع المجاور للزاوية س / الوتر = 9/20 = 0.45.
- ظا س= الضلع المقابل للزاوية س / الضلع المجاور للزاوية = 17.86 / 9 = 1.98.
- باستخدام الآلة الحاسبة فإنَّ الزاوية س = جا^-1 (0.893) = 63.25 تقريباً.

مثال 4: مثلث قائم الزاوية، جا س= 0.707، وجتا س= 0.707 ، جد قيمة ظا س، وقياس الزاوية س.
- الحل: ظا س= جا س / جتا س= 0.707 / 0.707 =1.
- باستخدام الآلة الحاسبة فإنَّ س = ظا^-1 (1) = 45.

طول الضلع المقابل للزاوية 30 في المثلث القائم

في المثلث القائم الزاوية هنالك نظريتان:

نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنّ: (الوتر)²= (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)².
الضلع الذي يُقابل الزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية مساوٍ لنصف وتر المثلث.
- مثال: أ ب ج مثلث قائم الزاوية في النقطة ب، الزاوية أ = 30 درجة، والزاوية ج = 60 درجة، أثبت أنَّ الضلع (ب ج) الذي يقابل الزاوية أ مساوٍ لنصف الوتر.
- الحل: نقوم بتنصيف الوتر أ ج في النقطة د.
- نصل خط بين نصف الوتر في النقطة د وحتى النقطة ب قائمة الزاوية.
- الضلع ب د مساوٍ للضلع ج د ، وذلك لأنَّ المثلث د ب ج مثلث متساوي الأضلاع، وتكون الزاوية د ب ج تساوي الزاوية د ج ب وتساوي 60 درجة.
- بما أنّ المثلث د ج ب متساوي الأضلاع فإنّ الضلع ب ج الذي يُقابل الزاوية أ مساوٍ للضلع د ج وهو المطلوب إثباته.