دليلك الشامل عن مساحة المستطيل ومحيطه

يُعدّ المستطيل واحدًا من أكثر الأشكال الهندسيّة شهرةً، إضافةً إلى كونه من أبسط هذه الأشكال وأسهلها رسمًا وأكثرها استخدامًا، وهو شكل يحتوي على أربعة أضلاع يتساوى كلّ اثنين منهما في الطّول ويتقابلان مع بعضهما البعض، وينتمي المستطيل إلى فئة الأشكال رباعيّة الأضلاع، وهي الفئة التي ينتمي إليها المربّع والمعين ومتوازي الأضلاع أيضًا، وتُعرف مساحة المستطيل بأنّها الحيّز الذي يشغله المستطيل على المستوى ثنائيّ الأبعاد، في حين يُمثّل المحيط طول الأضلاع الخارجيّة للمستطيل.

يتحدث هذا المقال عن مساحة المستطيل، ويشمل:

• تعريف المستطيل مع ذكر أبرز خصائصه التي تُميّزه عن غيره.
• معرفة طريقة حساب مساحة المستطيل بالعديد من الطرق المختلفة.
• كيفيّة حساب محيط المستطيل بعدّة طرق.
• طريقة حساب مساحة متوازي المستطيلات، إلى جانب طريقة حساب محيط قاعدته.
• أبرز الخصائص التي تُميّز المستطيل الذهبيّ عن المستطيلات الأخرى.
• يذكر المقال كثيرًا من الأمثلة الحسابيّة لتوضيح طريقة استخراج المساحة والمحيط للأشكال المستطيلة.
• طريقة رسم متوازي المستطيلات بخطوات بسيطة.

ما هو المستطيل ؟

يُعرف المستطيل بأنّه شكل رباعيّ الأضلاع يحتوي على أربع زوايا قائمة، ويُعدّ المربّع حالة خاصّة من المستطيل؛ حيث يضمّ هذا الشكل الهندسيّ كذلك أربعة أضلاع تتعامد مع بعضها البعض مشكّلة زوايا قائمة؛ شريطة تساوي أطوال جميع الأضلاع الأربعة في المربّع دون اشتراط ذلك في المستطيل.

خصائص المستطيل

• يتكوّن المستطيل من أربعة أضلاع.
• جميع الأضلاع المتقابلة في المستطيل ذات أطوال متساوية.
• يبلغ مقاس جميع الزوايا الداخليّة للمستطيل 90 درجة.
• إن مجموع الزوايا الداخليّة للمستطيل تساوي 360 درجة.
• يحتوي المستطيل على قطرين اثنين لهما الطول ذاته.
• طول قطر المستطيل يساوي طول قطر الدائرة التي تنشأ من دورانه حول مركزه.
• يُصبح المستطيل مربّعًا إذا تقاطع قطراه معًا مشكّلين زوايا قائمة.
• جميع المستطيلات متوازية الأضلاع دون عكس.

مساحة المستطيل

يُمكننا تعريف المساحة بأنّها المنطقة التي يغطّيها شكل مسطّح، ويتمّ قياسها بوحدة المتر المربّع؛ فإنّها تنتج عن ضرب وحدة طول بوحدة طول أخرى.

قانون مساحة المستطيل

حساب مساحة المستطيل باستخدام الطول والعرض

يُعدّ قانون حساب مساحة المستطيل من خلال الطول والعرض من أبسط الطرق المعروفة لحساب هذه المساحة وأكثرها شهرة؛ فإنّ مساحة الشكل المستطيل تساوي ناتج ضرب الطّول بالعرض؛ فإذا رمزنا للمساحة بالرّمز م، ورمزنا للطول بالرّمز ل، والعرض بالرّمز ع، فإنّ مساحة المستطيل م=ل×ع.

حساب مساحة المستطيل باستخدام المحيط والطول أو العرض

إذا رمزنا للمحيط بالرّمز ح، ورمزنا للطّول بالرّمز ل، والعرض بالرّمز ع، والمساحة بالرّمز م؛ فنستطيع حساب مساحة المستطيل كما يأتي عندما يكون المحيط معلومًا مع الطّول أو العرض فحسب:

• إذا كان الطّـول معلومًا فإنّ: م=ل×((ح-2×ل)÷2)
• إذا كان العرض معلومًا فإنّ: م=ع×((ح-2×ع)÷2)

حساب مساحة المستطيل باستخدام القطر والطول أو العرض

يعتمد حساب مساحة المستطيل باستخدام القطر مع الطّول أو العرض على نظريّة فيثاغورس، وفيما يأتي طريقة حساب مساحة المستطيل من القطر؛ على أن يُرمز للقطر بالرّمز ق، والمساحة بالرّمز م، والطول بالرّمز ل، والعرض بالرّمز ع:

• إذا كان العرض معلومًا:
  • م²=ع²×(ق²-ع²)
  • م=(م²)^0.5
• إذا كان الطول معلومًا:
  • م²=ل²×(ق²-ل²)
  • م=(م²)^0.5

مساحة متوازي المستطيلات

يُعدّ متوازي المستطيلات واحدًا من الأشكال ثلاثيّة الأبعاد، ويتميّز بأن جميع وجوهه الستّة تتكوّن من مستطيلات فحسب.

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات

على فرض أنّ الطول يُعرف بالرّمز ل، والعرض بالرّمز ع، والارتفاع بالرّمز ر، والمساحة الجانبيّة بالرّمز م_ج؛ فإن المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات م_ج=2×ر×(ل+ع) وهي مجموع مساحة المستطيلات الجانبيّة الأربعة للمستطيل، ويُمكن حساب المساحة الجانبيّة من خلال معرفة مساحة كلّ واحد من هذه المستطيلات، ثمّ جمعها مع بعضها البعض أيضًا.

المساحة الكلية لمتوازى المستطيلات

تُعرف المساحة الكليّة لمتوازي المستطيلات بأنّها مجموع مساحة المستطيلات الجانبيّة الأربعة، إضافةً إلى مساحة القاعدتين العلويّة والسفليّة، ويمكن حساب المساحة الكليّة عن طريق المعادلة م_ك=2(ل×ع)+2(ل×ر)+2(ع×ر)، وذلك بالتعبير عن المساحة الكليّة بالرّمز م_ك، والطول بالرّمز ل، والارتفاع بالرّمز ر، والعرض بالرّمز ع.

حجم متوازي المستطيلات

يتمّ احتساب حجم متوازي المستطيلات عن طريق ضرب الطّول بالعرض والارتفاع، وهذا يعني أنّ حجم متوازي المستطيلات ح=ل×ع×ر ويتمّ قياس النتيجة بوحدة اللتر أو المتر المكعب، ويُعبّر الحجم عن الحيّز الذي يشغله متوازي المستطيلات من الفراغ أو السعة التي يتمتّع بها ويُمكن ملؤها بالسائل، وهو مختصّ بالأجسام ثلاثيّة الأبعاد فحسب.

حساب مساحة ارض مستطيلة

يتمّ حساب مساحة قطعة الأرض المستطيلة من خلال قياس الطّول ل، ثمّ قياس العرض ع، باستخدام إحدى وسائل القياس المعروفة مثل شريط القياس، أو أدوات القياس الإلكترونيّة الدقيقة، أو قياس الطّول بإستخدام أجهزة المساحة المختلفة؛ بما فيها جهاز التسوية أو المحطّة المتكاملة، وتكون مساحة قطعة الأرض م=ل×ع.

أمثلة حسابية عن مساحة المستطيل

• ما هي مساحة المستطيل الذي يبلغ طوله 10م ويبلغ عرضه 6م؟
  • م=10م×6م
  • م=60م².
• ما هي مساحة المثلّث الذي يبلغ طول قطره 10سم ويبلغ طوله 8سم؟
  • م²=ل²(ق²-ل²)
  • م²=8²سم×(10²سم-8²سم)
  • م²=64×(100-64)
  • م²=64×36
  • م=(2,304)^0.5
  • م=48سم²
• كيف يمكننا حساب المستطيل الذي يبلغ محيطه 32م ويبلغ عرضه 6م؟
  • م=ع×((ح-2×ع)÷2)
  • م=6((32-2×6)÷2)
  • م=6((20)÷2)
  • م=6×10
  • م=60م²

قطر المستطيل

نستطيع تعريف قطر المستطيل بأنّه الخطّ المستقيم الذي يصل بين الزوايا المتقابلة للمستطيل، ويحتوي كلّ مستطيل على اثنين من الأقطار المتساوية في الطّول مع تقاطعها في المتنصف، وينتج عن تقاطع قطريّ المستطيل أربعة مثلّثات ذات زوايا منفرجة أو حادّة، ويُشكّل تقاطع القطرين مع بعضهما البعض مثلثّات ذات زوايا قائمة عندما يكون الشّكل مربّعًا كما سبق.

قانون طول قطر المستطيل

يتمّ تمثيل قانون قطر المستطيل على الصورة ق²=ل²+ع² عندما نشير إلى القطر بالرّمز ق، والعرض بالرّمز ع، والطول بالرّمز ل، وهو أحد القوانين التي تعتمد على نظريّة فيثاغورس، كما أنّ هناك العديد من القوانين الأخرى لحساب قطر المستطيل باستخدام مساحة المثلّث قائم الزاوية أو عن طريق الجيب وجيب التمام أيضًا.

طول قطر متوازي المستطيلات

يمكننا حساب قطر متوازي المستطيلات عن طريق المعادلة ق=(ل²+ع²+ر²)^0.5، وهذا يعني أنّ المستطيل الذي يبلغ عرضه 5م، ويبلغ طوله 10م، ويبلغ ارتفاعه 7م؛ يبلغ قطره (10²+5²+7²) ويساوي 13.19م تقريبًا بتطبيق المعادلة السابقة.

كيفية ايجاد قطر المستطيل

يتمّ إيجاد قطر المستطيل بالاعتماد على نظرّة فيثاغورس للمثلّث قائم الزاوية؛ فإنّ القطر يقطع المستطيل إلى مثلّثين كلاهما قائم الزاوية، وينصّ هذا القانون على أنّ وتر المثلّث القائم يساوي الجذر التربيعيّ لمجموع طول الضلعين الآخرين للمثلّث، وهي الطريقة الأكثر شيوعًا لإيجاد قطر المستطيل، ويُمكن إيجاد القطر كذلك عن طريق قوانين الجيب وجيب التمام أو المحيط.

حساب طول قطر المستطيل

فيما يأتي بعضًا من أبرز طريق حساب طول قطر المستطيل وفقًا للرّموز الآتية:

ل	الطول
ع	العرض
ق	القطر
و	الوتر
جا	جيب الزاوية
جتا	جيب تمام الزاوية
ح	المحيط
م	مساحة المستطيل
α	الزاوية

حساب طول قطر المستطيل باستخدام نظريّة فيثاغورس

إنّ قطر المستطيل ق يساوي الجذر التربيعيّ لمجموع مربّعي الطول ل والعرض ع حسب نظريّة فيثاغورس، ويُمكن تمثيل ذلك بالمعادلة ق=(ل²+ع²)^0.5، كما يُمكن تمثيلها في المعادلة ق²=ل²+ع² أيضًا، ولا بدّ أو يكون الطّول معلومًا والعرض معلومًا لنتمكّن من اتّباع هذه الطريقة في الحساب.

حساب قطر المستطيل باستخدام المساحة والطول أو العرض

مساحة المستطيل م تساوي حاصل ضرب الطول ل بالعرض ع، ويُمكن الاستفادة من هذه المعادلة لإيجاد قطر المستطيل؛ على فرض أنّ العرض ع=م÷ل، والطول ل=م÷ع، كما أنّ القطر ق=(ل²+ع²)^0.5 أيضًا، ويحصل من دمج هذه المعادلات مع بعضها البعض وفق الأسس الرياضيّة القوانين الآتية:

• عندما يكون الطول معلومًا:
  • ق=(ل²+(م÷ل)²)^0.5
• عندما يكون العرض معلومًا:
  • ق=(ع²+(م÷ع)²)^0.5

حساب قطر المستطيل باستخدام المحيط والطول أو العرض

نستطيع استخراج عرض المستطيل باستخدام المعادلة 2ع=ح÷2ل، وهذا يعني أنّ ع=(ح-2ل)÷2، كما يتمّ استخراج طول المستطيل من خلال المعادلة ل=(ح-2ع)÷2، وبناءً عليه يُمكننا حساب قطر المستطيل باستخدام المعادلة ق=(ل²+ع²)^0.5 بعد الانتهاء من حساب الطّول أو العرض عن طريق المحيط.

حساب قطر المستطيل باستخدام جيب الزاوية

يُعرف جيب الزاوية بأنّها قيمة رياضيّة تُعبّر عن نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر، ونستطيع استخدام هذه النسبة لحساب قطر المستطيل عن طريق المعادلة ق=ع÷جاα في حالة كان الطول معلومًا، كما يُمكن حساب القطر عن طريق المعادلة ق=ل÷جتاα إذا كان العرض معلومًا؛ أي أنّنا نعتمد على حسابات جيب الزاوية إذا كان العرض معلومًا وعلى حسابات جيب التمام إذا كان الطول معلومًا.

أمثلة حسابية عن قطر المستطيل

• ما هو طول قطر المستطيل الذي يبلغ طوله 10م ويبلغ عرضه 5م؟
  • ق=(ل²+ع²)^0.5
  • ق=(10²+5²)^0.5
  • ق=(100+25)^0.5
  • ق=(125)^0.5
  • ق=11.18م تقريبًا.
• كيف يُمكننا حساب طول قطر المستطيل الذي تبلغ مساحته 50سم² ويبلغ عرضه 5سم؟
  • ق=(ع²+(م÷ع)²)^0.5
  • ق=(5²+(50÷5)²)^0.5
  • ق=(25+(10)²)^0.5
  • ق=(25+100)^0.5
  • ق=(125)^0.5
  • ق=11.18سم تقريبًا.
• إذا كان محيط المستطيل 30مم وكان طوله 10مم، فما هو طول قطره؟
  • نحسب العرض أوّلًا كما يأتي:
    • ع=(ح-2ل)÷2
    • ع=(30-2×10)÷2
    • ع=(30-20)÷2
    • ع=10÷2
    • ع=5
  • ق=(ع²+(م÷ع)²)^0.5
  • ق=(10²+5²)^0.5
  • ق=(100+25)^0.5
  • ق=(125)^0.5
  • ق=11.18ملم تقريبًا.
• ما هو قطر المستطيل الذي يبلغ عرضه 2م وتبلغ قيمة الزاوية المقابلة 30 درجة؟
  • ق=ع÷جا
  • ق=2÷جا30
  • ق=4م

محيط المستطيل

يشير مصطلح محيط المستطيل إلى مجموع أطوال الأضلاع الخارجيّة، ويقاس بوحدة الطول المنفردة على خلاف المساحة التي يتمّ قياسها بوحدة الطول المربّعة أو الحجم الذي يتمّ قياسه باستخدام وحدة الطول المكعّبة، ويُمكن التعبير عن المحيط بأنّه طول الخطّ الذي يحيط بالشّكل الهندسيّ سواء كان مستطيلًا أو مثلّثًا أو غير ذلك.

قانون محيط المستطيل

حساب محيط المستطيل باستخدام الطول والعرض

يتمّ حساب محيط المستطيل عن طريق إضافة مثلي العرض إلى مثلي الطول، ويتمّ التعبير عن هذه العمليّة الحسابيّة بالمعادلة ح=2ل×2ع على فرض أن الطول يساوي ل والعرض يساوي ع.

حساب محيط المستطيل باستخدام القطر والطول أو العرض

إن قطر المستطيل ق²=ل²+ع²، وهذا يعني أنّ الطول والعرض من العناصر التي تدخل في معادلة حساب القطر، ونستطيع الاستفادة من هذه المعادلة لاستخراج الطول بدلالة القطر والعرض أو استخراج العرض بدلالة القطر والطّول، ثمّ استخدام المعادلة ح=2ل×2ع لمعرفة محيط المستطيل كما يأتي:

• إذا كان الطول معلومًا:
  • ع=(ق²-ل²)^0.5
  • ح=2ل×2ع
• إذا كان العرض معلومًا:
  • ل=(ق²-ع²)^0.5
  • ح=2ل×2ع

حساب محيط المستطيل باستخدام المساحة والطول أو العرض

نستطيع حساب محيط المستطيل باستخدام المساحة والطّول أو العرض عن طريق المعادلة ح=2ل+2(م÷ل) في حالة كان الطّول معلومًا، ويتمّ استخراج المحيط من خلال المعادلة ح=2ع+2(م÷ع) إذا كان العرض معلومًا، وذلك لأنّ المحيط م=2ل×2ع، والمساحة م=ع×ل، ويمكننا حساب الطول بدلالة المساحة عن طريق المعادلة ل=م÷ع، ويتمّ حساب العرض بدلالة المساحة من خلال المعادلة ع=ح÷ل، وبجمع هذه المعادلات مع معادلة المحيط تنتج معادلات حساب محيط المستطيل من خلال المساحة والطّول أو العرض.

محيط متوازي المستطيلات

يتمّ حساب محيط متوازي المستطيلات من خلال المعادلة ح=4ع+4ل+4ر، ويمكن كتابتها على الصورة 4(ع+ل+ر) أيضًا، وذلك لأنّ متوازي المستطيلات يشتمل على اثنيّ عشر ضلعًا؛ كلّ أربعة منها متقابلة مع بعضها البعض ومتساوية في الطّول.

محيط قاعدة متوازي المستطيلات

تُشكّل قاعدة متوازي المستطيلات مستطيلًا واحدًا يُمكن حساب محيطه من خلال مجموع مثلي الضّلع الأطول ومثلي الضّلع الأقصر، ويُمكن تمثيل ذلك في المعادلة ح_ق=2ل+2ع؛ على أن الرّمز ح_ق يشير إلى محيط القاعدة، والرّمز ل لطول الضلع الأطول، والرّمز ع لطول الضلع الأقصر، وإذا كانت القاعدة مربّعة الشّكل؛ فيُمكن تمثيل معادلة محيط قاعدتها على الصّورة ح_ق=4ل على أنّ الرّمز ل يشير إلى طول أيّ واحد من الأضلاع.

النسبة بين طول المستطيل ومحيطه

تختلف النّسبة بين طول المستطيل ومحيطه على نحوٍ ملحوظ نتيجة لاختلاف أطوال الأضلاع؛ فإذا كان طول المستطيل 10م، وعرضه 5م، كان محيطه 30م، وكانت النّسبة بين طوله ومحيطه 10:30، وإذا كان طول المستطيل 5م، وعرضه 2م؛ كان محيطه 14م، وكانت نسبة الطول إلى المحيط 5:14 بدلًا من نسبة 10:30.

أمثلة حسابية عن محيط المستطيل

• ما هو محيط المستطيل الذي يبلغ طوله 6م وعرضه 3م؟
  • م=2ل×2ع
  • م=2×6+2×3
  • م=12+6
  • م=18م
• كيف يُمكننا حساب محيط المستطيل الذي يبلغ طوله 6سم ومساحته 18سم؟
  • ع=م÷ل
  • ع=18÷6
  • ع=3م
  • م=2ل×2ع
  • م=2×6+2×3
  • م=12+6
  • م=18سم
• إذا كان قطر المستطيل 5م وكان طوله 4م، فما هو محيطه؟
  • ع=(ق²-ل²)^0.5
  • ع=(5²-4²)^0.5
  • ع=(25-16)^0.5
  • ع=9^0.5
  • ع=3م
  • م=2ل×2ع
  • م=2×4+2×3
  • م=8+6
  • م=14م

مستطيل فيبوناتشي

يُعرف مستطيل فيبوناتشي كذلك باسم المستطيل الذهبيّ، وهو المستطيل الذي تبلغ النسبة بين أضلاعه 1:1.618، ويُمكننا الحصول على مستطيل ذهبيّ آخر إذا أزلنا من المستطيل المذكور قطعة ذات شكل مربّع، ونستطيع الحصول على عدد لا نهائيّ من المستطيلات الذهبيّة عن طريق إزالة قطعة مربّعة من مستطيلات فيبوناتشي.

الشكل الناتج من دوران المستطيل

ينتج شكل دائريّ في حالة دوران المستطيل حول مركزه بشكل مسطّح أو دورانه حول واحدة من الزوايا بشكل مسطّح، بينما ينتج شكل أسطوانيّ عند الدوران حول أحد الأضلاع أو الدوران حول المركز بشكل يوازي الدوران حول الأضلاع، وهذا يعني أنّ الشكل الناتج يعتمد على طريقة الدّوران والمحور الذي يدور حوله المستطيل.

الشكل الناتج من دوران المستطيل حول احد اضلاعه

إذا دار المستطيل حول أحد أضلاعه فإنّه يُنتج أسطوانة يساوي قطرها طول الضّلع الآخر من أضلاع المستطيل، ويساوي ارتفاعها طول الضّلع الذي يدور حوله، ويمكننا حساب حجم هذه الأسطوانة من خلال المعادلة: ط×(ل÷2)²×ع إذا كان الدوران حول الضّلع الأقصر، ويتمّ حساب الحجم من خلال المعادلة: ح=ط×(ع÷2)²×ل إذا كان الدوران حول الضّلع الأطول، وتشير رموز هذه المعادلة إلى الآتي:

ط	ثابت باي 𝛑
ل	طول الضّلع الأطول من المستطيل
ع	طول الضّلع الأقصر من المستطيل
ح	حجم الأسطوانة الناتجة من دوران المستطيل

كيفية رسم متوازي المستطيلات

• رسم مستطيل باستخدام الأدوات الهندسيّة المناسبة.
• رسم مستطيل آخر يتداخل مع المستطيل الأوّل، إلّا أنّه أعلى منه ويخرج إلى الجانب الأيمن أو الأيسر، ولا بدّ أن يكون المستطيل الثاني بذات أبعاد المستطيل السابق.
• استخدام الأدوات الهندسيّة لتوصيل المستطيلين مع بعضهما البعض بخطوط مستقيمة أربعة؛ يصل كلّ واحد منهما بين إحدى الزوايا والزاوية التي تقابلها في المستطيل الثاني.
• مسح الخطوط المرسومة داخل الشكل لاستكمال رسمة متوازي المستطيلات.