جدول المحتويات
المكعب من الأشكال المنتظمة ثلاثية الأبعاد، وبالتالي فإنه يُعبر عنه باستخدام الحجم، ويُعرف حجم المكعب بأنه كمية الفراغ التي توجد داخل المكعب، ويُقاس بوحدة مكعبة، ويتميز المكعب بأنه ذو ستة أوجه، جميعها متساوية الحجم ومربعة الشكل؛ لذلك تُقدر مساحة المكعب بإيجاد مساحة أحد الأوجه الستة، ثم ضربها بالعدد 6، أما بالنسبة لمحيط المكعب فيصعب إيجاده نظرًا لارتباط ذلك بالأشكال ثنائية الأبعاد فقط، بينما المكعب ثلاثي الأبعاد، ولكن نظرًا لاشتمال المكعب على أوجه تأخذ شكل مربع، فيمكن العثور على محيط المكعب بحساب مجموع حوافه المنفصلة.
يتحدث هذا المقال عن المكعب، ويشمل:
- تعريف المكعب مع توضيح أهم الخصائص التي يمتاز بها عن غيره من الأشكال الهندسية.
- معرفة حجم المكعب وأهم الأمثلة الحسابية حول حجمه.
- بيان قانون مساحة المكعب من حيث المساحة الكلية والجانبية، ومساحة سطح المكعب مع توضيح طريقة حسابها بالأمثلة الحسابية المختلفة.
- تحديد المقصود بمحيط المكعب وقانونه..
- الحديث عن مكعب روبيك وما يتعلق به من حيث تعريفه وقطعه وتاريخه وكيفية حله.
- تناول قطر المكعب وكيفية حساب طوله.
- توضيح كيفية تحليل الفرق بين مكعبين.
ما هو المكعب ؟
يُعرف المكعب بأنه مجسم صلب ذو شكل منتظم، حيث يتشكل من ستة أوجه، وهي عبارة عن بعض المربعات المتماثلة التي تتصل ببعضها لتكوّن القمم والحواف، ويُطلق على المكعب أيضًا اسم سداسي الأوجه، ويتميز بأنه أحد المجسمات التي تُسمّى بالمواد الصلبة الأفلاطونية، وذلك لأنه يتميز بأن جميع أوجهه منتظمة، ومتماثلة، ومضلعة.
يتكون المكعب من الوجه، والحافة، والرأس، والقطر ثنائي الأبعاد، والقطر ثلاثي الأبعاد، أما بالنسبة للوجه؛ فالمكعب ذو ستة أوجه، ويمتاز كل وجه بأربعة أطوال متساوية، إضافةً إلى أربع زوايا قائمة من الناحية الداخلية، كما يتكون المكعب من اثنتيّ عشرة حافة ذات أطوال متساوية، ويُطلق على الحافة أيضًا اسم ضلع، وهي عبارة عن خط ناتج عن اتصال رأسين معًا، كما أن المكعب له ثمانية رؤوس، والرأس هي نقطة تتكوّن عندما تلتقي ثلاثة حواف معًا، أما فيما يتعلق بالقطر ثنائي الأبعاد، فتجدر الإشارة إلى أن المكعب ذو اثنتيّ عشر قطرًا، والقطر ثنائي الأبعاد هو خط يربط بين الرؤوس المتعاكسة في الأوجه، ويسهل حسابه بقانون قطر الوجه = (2*س²)√، أما الأقطار ثلاثية الأبعاد أو ما تُعرف بالأقطار الفضائية، فإن المكعب يتكوّن من أربعة أقطار ثلاثية الأبعاد، وهي عبارة عن خطوط تربط بين الزوايا أو الرؤوس داخل المكعب، فهي رابطة بين ركنين متعاكسين، وتقطع الجزء الداخلي للمكعب، ويمكن حسابها من خلال القانون (3* س²)√.
خواص المكعب
- ارتباط كل وجه من أوجه المكعب مع أربعة أوجه أخرى.
- قياس جميع زوايا سطح مستوى المكعب 90 درجة، وذلك لأنها ذات زوايا قائمة.
- اتصال ثلاثة أضلع معًا للمكعب ينتج عنه تكوُّن الرؤوس.
- توازي الحواف التي تتقابل معًا في كل وجه.
حجم المكعب
حجم المكعب هو كمية الفراغ التي توجد في الجزء الداخلي من المكعب، فعندما نقول إن هناك صندوقًا من الحليب بحجم 1,728سم3، فيجب إحضار عدد من المكعبات كلها ذات طول ضلع 1سم، يُقدر عددها بـ 1,728 من أجل ملء صندوق الحليب، ويُقاس حجم المكعب بالمتر مكعب تبعًا للنظام العالمي للوحدات، ولا بد من قياس حجم المكعب بوحدة مكعب، فعندما نُعبّر عن حجم مكعب ذي طول ضلع 1سم، فإن ناتجه يجب أن يكون بالسنتيمتر مكعب؛ أي سم3.
قانون حجم المكعب
- القانون الأول: يسهل إيجاد حجم المكعب عبر ضرب الطول، والعرض، والارتفاع للمكعب معًا، وتتسم جميع الأطوال بأنها متساوية، فلذلك إن قانون حجم المكعب يكون كالتالي: طول الضلع×طول الضلع×طول الضلع، وبالتالي فإن حجم المكعب = طول الضلع3، وللاختصار، فإن حجم المكعب يرمز له بالحرف “ح”، وطول ضلع المكعب يرمز له بالحرف “ل”، فإذا كان هناك مكعب يبلغ طول أحد أضلاعه 5سم، فإن حجم المكعب= طول الضلع³= 5³= 5×5×5=125سم³.
- القانون الثاني: يمكن إيجاد حجم المكعب عبر طول أحد الأقطار، ويرمز لحجم المكعب بالحرف “ح”، ولطول أحد أقطاره بالرمز “ق” كالتالي: حجم المكعب=3√×(مكعب طول القطر/9)، وبالرموز: ح= 3√×(ق³ /9).
حجم شبه المكعب
يُحسب حجم شبه المكعب أيضًا من خلال العلاقة التالية: حجم شبه المكعب= الطول×العرض×الارتفاع. فإذا كان طول شبه المكعب 10سم، بينما يُقدر عرضه بـ 4سم، ويصل ارتفاعه إلى 5سم، فإن حجم شبه المكعب بالتعويض في القانون= 10×4×5 = 200سم3.
امثلة حسابية حول حجم المكعب
- مثال 1: ما هو حجم المكعب الذي يبلغ طول أحد أضلاعه 12.5 متر؟
- الحل: حجم المكعب= طول ضلع المكعب³=12.5³= 1,953م³.
- مثال 2: في حال كانت مساحة أحد أوجه المكعب تساوي 16سم2 فاحسب حجمه.
- الحل: حجم المكعب= طول الضلع³، ولا يمكن معرفة حجم المكعب إلا بمعرفة طول الضلع أولًا، وبما أن المكعب ذا ستة أوجه، ويتميز كل وجه من هذه الوجوه بأنه مربع الشكل، فإن مساحة المربع مساوية لطول الضلع؛2 أي أن 16= طول الضلع2، ولذلك فإن طول الضلع الواحد يكون 4سم عندما نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، وعليه فإن حجم المكعب = 4³، أي أن حجم المكعب = 64سم³.
- مثال 3: إذا كان هناك صندوق مكعب الشكل بأبعاد داخلية 1م×1م×1م، ومن المفترض أن يُصنع بخشب ذي سمك 5سم، فلو كانت تكلفة المتر المكعب تُقدر بـ 18.600 دينار، فاحسب التكلفة التي تُدفع من أجل صناعة هذا الصندوق من الخشب، مع الإشارة إلى أن الصندوق مفتوح من الجزء العلوي.
- الحل: تكلفة صندوق الخشب= حجم الصندوق ذو الشكل المكعب× تكلفة المتر المكعب المصنوع من الخشب، ويجب معرفة الأبعاد الثلاثة الخارجية لهذا الصندوق المكعب من أجل إيجاد حجمه:
- الطول الخارجي للصندوق المكعب= الطول الداخلي+ سمك الخشب؛ أي 1م+(2×5سم)، أي ما يساوي 1.10م، وهنا نُوضح سبب ضرب سمك الصندوق في الرقم 2؛ لأن الخشب محيط به من جانبيه.
- العرض الخارجي= 1م+(2 × 5سم)؛ أي ما يساوي 1.10م أيضًا.
- الارتفاع الخارجي= 1م+5سم، وسبب عدم الضرب في الرقم 2 عند حساب الارتفاع الخارجي أن الصندوق مفتوح من الجزء العلوي كما جاء في معطيات المسألة، ولذلك فإن الارتفاع الخارجي يساوي 1.05م.
- اعتمادًا على أن الصندوق سيكون فارغًا من الجزء الداخلي، فإن حساب حجم الصندوق مكعب الشكل يكون كالتالي: طول ضلع المكعب³=(1.10)×(1.10)×(1.05)=1.2705م³.
- عند حساب حجم المكعب الداخلي فإنه سيكون كالتالي: ×1×1=1م³.
- عند حساب حجم الخشب الذي يُستخدم فإننا نطرح حجم المكعب الداخلي من حجم المكعب الخارجي على النحو التالي: 1.271-1=0.2705م³.
- في النهاية يكون حساب تكلفة الخشب= 0.2705×18,600= 5,031.30 دينار.
مكعب حجمه 125 فما طول حرفه ؟
يسهل إيجاد طول حرف مكعب حجمه 125سم؛³ حيث إن حجم المكعب = (طول الضلع)³ وعليه، فإن 125=(طول الضلع)³، وعندما نأخذ الجذر التكعيبي للطرفين، فإن طول الحرف أو الضلع يكون 5سم.
مكعب محيط قاعدته 36 سم احسب حجمه
إذا كان محيط قاعدة المكعب يساوي 36سم، فيجب معرفة طول حرف المكعب أولًا عبر قسمة 36 ÷ 4= 9سم، وبما أن قانون حجم المكعب = (طول الضلع)³؛ فإن حجم المكعب= 9×9×9= 729سم³.
مكعب طول حرفه ٢سم يكون حجمه يساوي
إذا كان طول أحد أحرف المكعب 2سم، فيمكن معرفة حجمه بسهولة اعتمادًا على أن جميع أطوال أحرف المكعب تكون متساوية، وباتباع قانون حجم المكعب = (طول الضلع)³، فإن حجم المكعب يساوي ³2= 8سم³.
مساحة المكعب
قبل التعرف على مساحة المكعب؛ تجدر الإشارة إلى أن المكعب يتشكل من أوجه ذات أشكال مربعة، وبالتالي فإن معرفة حساب مساحة المربع يساعد على التعرف على مساحة المكعب، فالمربع هو مستطيل جميع أضلاعه ذات أطوال متساوية، ويمكن إيجاد مساحة المستطيل من خلال حاصل ضرب الطول؛ أي الضلع الأطول في العرض الذي يمثل الضلع الأقصر، ولكن لأن كافة أضلاع المربع متساوية، فإن الطول يكون مساويًا للعرض، وبالتالي فيمكن حساب مساحة المكعب عبر حساب مجموع مساحات الأوجه.
قانون مساحة المكعب
يختلف قانون مساحة المكعب باختلاف المساحة التي تُحسب للمكعب، حيث يوجد قانون للمساحة الكلية للمكعب، وقانون آخر للمساحة الجانبية، فضلًا عن مساحة سطح المكعب، وقانون مساحة قاعدة المكعب، ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي:
المساحة الكلية للمكعب
تُعرف المساحة الكلية للمكعب بأنها مجموعة مساحات كافة وجوه المكعب الستة، وبناءً على أن جميع المربعات التي يشتمل عليها المكعب تكون متطابقة تمامًا، فمن الممكن حساب مساحة أحد المربعات ثم ضربها في العدد 6، وذلك لأنه العدد الذي يُشير إلى عدد أوجه المكعب، وبالتالي فإن قانون المساحة الكلية للمكعب الذي طول ضلعه س = 6 × س²، وس تعني طول ضلع المكعب.
المساحة الجانبية للمكعب
بالنسبة إلى قانون المساحة الجانبية للمكعب، فإن مساحة الوجه الواحد تساوي طول الحرف في نفسه أو حسب معطيات المسألة، وبالتالي فإن المساحة الجانبية للمكعب= مساحة الوجه الواحد × 4.
مساحة سطح المكعب
مساحة سطح المكعب= 2 (س×س + س×س)؛ أي 2(س² + س²) = 2(2 س²)، وبالتالي فإن مساحة سطح المكعب=4×س².
قانون مساحة قاعدة المكعب
قانون مساحة قاعدة المكعب هي طول الضلع²، فإذا كان حجم المكعب يساوي 1000سم³، فإن طول الضلع الواحد يساوي 10 لأن حجم المكعب يساوي طول الضلع3، وعليه فإن مساحة قاعدة المكعب تساوي 100سم².
امثلة حول مساحة المكعب
- مثال 1: احسب مساحة مكعب طول ضلع أحد أضلاعه 3سم.
- الحل: مساحة المكعب= 6 × س²، وبتعويض طول الضلع 3سم، فإن مساحة المكعب تكون 6 × 3²؛ أي 6 × 3× 3، فإن مساحة المكعب = 54سم².
- مثال 2: احسب مساحة المكعب الذي يبلغ طول أحد أضلاعه 1/2سم.
- الحل: مساحة المكعب= 6 × (1/2)²؛ أي 6 × 1/4، وبالتالي فإن مساحة المكعب تساوي 6 ÷ 4= 1.5سم².
- مثال 3: إذا كان طول ضلع المكعب 7سم، فأوجد مساحته الكلية.
- الحل: مساحة المكعب= 6 × س²، أي 6 × 7²، وبالتالي فإن مساحة المكعب الكلية تساوي 294سم².
مكعب مساحته 150 ما طول حرفه
إذا كانت مساحة المكعب 150، فبالتعويض لحساب طول حرفه نستخدم قانون مساحة المكعب 6 × الضلع²؛ أي 6× س²= 150، وبالتالي فإن مساحته الكلية 6×5² =6×25 =150سم²، أي أن طول حرفه يساوي 5سم.
محيط المكعب
يُعتبر العثور على محيط المكعب من الأمور الصعبة بعض الشيء، وذلك لأن النطاقات ترتبط بالأشكال ذات الأبعاد الثنائية، بينما المكعب ثلاثي الأبعاد، ولكن المكعب في حد ذاته يتكون من مجموعة من الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد، حيث إن كل وجه من وجوهه الستة يُعد مربعًا، وبما أن محيط المربع هو مجموع جوانبه الأربعة الفردية، فإن محيط المكعب هو إجمالي كافة جوانبه المنفصلة التي تُعرف بحواف أو أضلع المكعب.
قانون محيط المكعب
قانون محيط المكعب= حاصل ضرب طول الضلع × 12؛ وذلك لأن المكعب يشتمل على 12 حافة متطابقة.
محيط قاعدة المكعب
يسهل حساب محيط قاعدة المكعب بالاعتماد على أن قاعدة المكعب على شكل مربع، أي أن محيطها يساوي طول الضلع × 4.
محيط وجه المكعب
محيط وجه المكعب هو نفس قانون محيط قاعدة المكعب؛ أي طول الضلع × 4 بخلاف مساحة وجه المكعب التي تساوي طول الضلع × نفسه.
مثال على محيط المكعب
تتعدد الأمثلة على حساب محيط المكعب؛ فإذا كان طول حافة المكعب 8 وحدات، فإن محيط المكعب يساوي 8 × 12= 96.
مكعب روبيك
قدّم النحات المجري الشهير إرنو روبيك أحد الألغاز السحرية التي حيرت العالم بأسره، وهو اللغز الميكانيكي الشهير المتعلق بمكعب روبيك الذي يتساءل عنه الكثيرون.
ما هو مكعب روبيك ؟
مكعب روبيك هو عبارة عن أحجية تأخذ شكل مكعب يشتمل على تسعة مربعات على كل جانب من جوانبه، وعندما تُفتح العلبة الذي يوجد فيها المكعب لأول مرة، ويُخرَج هذا المكعب، فإن كل جانب يكون مشتملًا على بعض المربعات ذات الألوان المتشابهة، ويكون الهدف من لغز روبيك إعادة الجوانب إلى وضعها الأصلي بعد إدارتها أكثر من مرة، ورغم أن الأمر يبدو سهلًا، إلا أن الحقيقة غير ذلك، حيث يستغرق حل مكعب روبيك ساعات طويلة.
قطع مكعب روبيك
- قطع الحافة: هي قطع ذات لونين، يبلغ عددها 12 قطعة، وتوجد في الصفوف الوسطى.
- قطع الزاوية: هي قطع ذات ثلاثة ألوان، يبلغ عددها 8 قطع، وتوضع في زوايا مكعب روبيك.
- قطع المركز: هي قطع ذات لون واحد فقط، ويبلغ عددها 6 قطع مركزية؛ حيث توجد وسط كل جانب، كما تتميز بعدم قابليتها للتحرك.
تاريخ مكعب روبيك
تُعد لعبة مكعب روبيك واحدة من أقدم الألعاب التي تعتمد على الألغاز، واستطاعت اللعبة أن تصمد دون أن تُنسى، بل وتطورت كثيرًا مع الوقت، ويرجع تاريخ حصول إرنو روبيك على براءة اختراع هذه اللعبة إلى عام 1975، وبالتالي وُزعت اللعبة حول العالم على يد شركة أيديل تويز، ومع حلول عام 2009؛ بلغ مقدار مبيعات مكعب روبيك ما يزيد عن 350 مليون مكعب حول العالم، ولكن تجدر الإشارة إلى أن إرنو روبيك هو من طوّر تصميم اللعبة، بينما كان لاري نيكولز هو صاحب الفضل الأول في اختراع هذا المكعب، وكان يستخدم المغناطيس في تثبيت المكعب، ولكن لم تلق الفكرة التي قدمها لاري نيكولز رواجًا عند محبي الأحاجي، بخلاف تصميم روبيك الذي حقق نجاحًا وانتشارًا كبيرًا.
حل مكعب روبيك
عند استخدام مكعب روبيك، فإنه من السهل حل هذا المكعب بالاعتماد على تدوين سنغامستر، حيث توجد بعض الخوارزميات ذات الأحرف اللاتينية؛ بحيث يعبر كل حرف على دلالة معينة سواء كان الحرف صغيرًا أو كبيرًا، وتساعد تلك الخوارزميات على حل مكعب روبيك، ومن أبرز التعليمات لحل مكعب روبيك: إن كان الحرف مشتملًا على شرطة علوية، فيجب تحريك الحرف بخلاف حركة عقارب الساعة، بينما يُحرك الحرف الخالي من أي رموز في نفس اتجاه عقارب الساعة، وإن كان الحرف يشتمل على رقم مرتفع، فيجب تحريكه مرتين أو بدرجة دوران يبلغ قياسها 180 درجة.
الحرف R الموجود في المكعب يعبر عن ضرورة تحريك الواجهة جهة اليمين في نفس اتجاه عقارب الساعة، بينما الأحرف (X، وY، وZ) تعبر عن تحريك المكعب حول محوره بصورة كلية.
قطر المكعب
قطر المكعب هو القطعة المستقيمة التي تصل بين الزوايا التي تتقابل داخل المكعب مرورًا من خلاله، ويشتمل المكعب على أربعة أقطار تمر من خلاله، ويرمز له بالحرف “ق”.
طول قطر المكعب
طول القطر الثنائي الأبعاد للمكعب هو طول الضلع × 2√؛ أي الجذر تربيع، بينما طول القطر الثلاثي الأبعاد للمكعب يساوي طول الضلع × 3√ أي الجذر تكعيب.
تحليل الفرق بين مكعبين
قبل تحليل الفرق بين مكعبين، يجب أولًا التعرف على القانون العام للفرق بين المكعبين وهو كالتالي: س3 – ص3 = (س – ص ) (س2 + س ص + ص2)، وتتمثل خطوات تحليل الفرق بين مكعبين في ضرورة التحقق أولًا من أن المقدار مدّون على الصورة العامة للقانون، ثم استخدام بعض الخطوات بحسب كل قوس من القوسين:
- القوس الأول: يجب التحقق من عدم وجود أي عوامل مشتركة بين الحدين، وفي حال كان هناك عامل مشترك، فلا بد من إخراجه، ثم يُفتح القوسين، بحيث تكون العلاقة القائمة بينهما هي الضرب، مع كتابة العامل الذي أُخرج خارج القوسين، ثم يُضرب بهما، وبعدها نكتب في القوس الأول إشارة الطرح، وفي القوس الثاني إشارة الجمع هكذا: ( – )×( + + )، وبعدها نحسب الجذر التكعيبي للحد الأول ونكتبه من غير إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطرح، وبعدها نحسب الجذر التكعيبي للحد الثاني ونكتبه من غير إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطرح هكذا: (س – ص) × ( + + ).
- القوس الثاني: يجب تربيع الجذر التكعيبي للحد الأول، وبعدها يُكتب في القوس الثاني قبل إشارة الجمع، ثم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الثاني، ونكتب الناتج بين إشارتيّ الجمع، ويُربّع الجذر التكعيبي للحد الثاني، ويكتب في القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثاني ليكون الشكل النهائي للقوسين هكذا: (س³ – ص³) = (س – ص) × ( س² + (س × ص) + ص²).
