جدول المحتويات
متوازي الأضلاع شكل هندسي ثنائي الأبعاد ورباعي الأضلاع، له العديد من الخصائص التي تميّزه عن غيره من الأشكال الرباعية الرياضية؛ منها أنّ كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين، وكل زاويتين متقابلتين فيه متساويتين، ومساحة متوازي الأضلع تمثِّل الوحدات المربعة التي يقوم متوازي الأضلاع بتغطيتها عن طريق استخدام واحد من القوانين الثلاثة لحساب مساحة متوازي الأضلاع، وهذه القوانين تختلف بناءً على اختلاف المعطيات المعروفة عن متوازي الأضلاع، والقانون الأول يتطلّب معرفة طول قاعدة متوازي الأضلاع وارتفاعه، والقانون الثاني يتطلّب معرفة أطوال أقطار متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهم، والقانون الثالث يحتاج معرفة طول ضلعي متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهم.
يتحدث المقال عن مساحة متوازي الأضلاع، ويشمل:
- تعريف متوازي الأضلاع.
- قانون مساحة متوازي الأضلاع.
- حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام طول القاعدة والارتفاع.
- حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الأقطار والزاوية المحصورة بينهما.
- حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
ما هو متوازي الأضلاع؟
من الممكن تعريف متوازي الأضلاع على أنّه شكل هندسي رباعي مسطح ثنائي الأبعاد ومن صفاته وخصائصه ما يلي:
- يكون كل ضلعين متقابلين فيه متساويان ومتوازيان.
- تكون كل زاويتين متقابلتين فيه متساويتين.
- تكون كل زاويتين متخالفتين “تقعان على ضلع واحد” فيه متكاملتين؛ أي أنّ مجموعهما يساوي 180 درجة.
- تكون جميع زوايا متوازي الأضلاع قائمة في حال كانت واحدة منهم قائمة، وفي هذه الحالة يصبح متوازي الأضلاع مستطيل أو مربع، وهي بعض الحالات الخاصّة من متوازي الأضلاع.
- متوازي الأضلاع يحتوي على قطرين، والقطرين عبارة عن خطوط مستقيمة من الممكن أن يتم رسمها بين أحد رؤوس متوازي الأضلاع والرأس الذي يقابله، ويتميز كل قطر من قطريّ متوازي الأضلاع بما يلي:
- كل قطر ينصِّف القطر الآخر.
- كل قطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.
قانون مساحة متوازي الأضلاع
من الممكن تعريف مساحة متوازي الأضلاع (بالإنجليزيّة: Area of Parallelogram) بأنّها الفضاء ثنائي الأبعاد الذي يحتله متوازي الأضلاع، أو يمكن القول بأنّها عدد الوحدات المربعة التي يشغلها متوازي الأضلاع، ومن الممكن استخدام أكثر من قانون لحساب مساحة متوازي الأضلاع تختلف بناءً على المعطيات، وفيما يلي توضيح لكل حالة والقانون الذي يتم استخدامه فيها من أجل حساب مساحة متوازي الأضلاع بالإضافة إلى تمارين لكل واحدة منها:
حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام طول القاعدة والارتفاع
في هذه الحالة من حالات حساب مساحة متوازي الأضلاع وبعد معرفة كل من طول قاعدة متوازي الأضلاع وارتفاعه الذي يمكن رسمه كخط وهمي عمودي على قاعدة متوازي الأضلاع يتم استخدام القانون التالي من أجل حساب مساحة متوازي الأضلاع:
- مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع.
- بالرموز م = ل × ع ، حيث إنّ:
- م: مساحة متوازي الأضلاع بوحدة سم2.
- ل: طول قاعدة متوازي الأضلاع بوحدة سم.
- ع: ارتفاع متوازي الأضلاع بوحدة سم.
ملاحظة: هذه الصيغة من قانون حساب مساحة متوازي الأضلاع تتشابه مع صيغة قانون حساب مساحة المستطيل المعروفة وهي الطول × العرض، ويرجع السبب وراء ذلك إلى أنّ التشابه بين هذين الشكليّن الرباعيين كبير، وبتحريك متوازي الأضلاع باتجاه ما نستطيع تحويله إلى مستطيل، ومن الأمثلة على هذه الحالة ما يلي:
- مثال 1: إذا كان طول قاعدة متوازي أضلاع 6سم، وارتفاعه كان 4سم، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
- الحل: باستخدام قانون مساحة متوازي الأضلاع السابق:
- م = ل × ع = 6 × 4 = 24سم2.
- مساحة متوازي الأضلاع = 24سم2..
- مثال 2: إذا كان طول قاعدة متوازي الأضلاع يساوي مثلي ارتفاعه، وكان ارتفاعه يساوي 3سم، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
- الحل: بما أنّ طول قاعدة متوازي الأضلاع يساوي مثليّ ارتفاعه فإنّ طول قاعدة متوازي الأضلاع يساوي 2 × 3 = 6سم.
- باستخدام قانون مساحة متوازي الأضلاع:
- م = ل × ع = 6 × 3 = 18سم2.
حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الأقطار وزاوية محصورة بينهما
يمكن تعريف أقطار المستطيل بأنهم خطيّن متقاطعيّن داخله، كل منهما يقوم بتقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين ومتساويين بالمساحة وكل منهما ينصِّف الآخر، وفي هذه الحالة من حالات حساب مساحة متوازي الأضلاع وعند معرفة قطريّ متوازي الأضلاع ومعرفة قياس الزاوية المحصورة بينهم كشرط يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام القانون التالي:
- مساحة متوازي الأضلاع = ½ × حاصل ضرب القطرين × جيب الزاوية المحصورة بين القطرين.
- بالرموز: م = ½ × ق 1 × ق 2 × جا (θ)، حيث إنّ:
- م: مساحة متوازي الأضلاع بوحدة سم2.
- ق1: طول القطر الأول لمتوازي الأضلاع بوحدة سم.
- ق2: طول القطر الثاني لمتوازي الأضلاع بوحدة سم.
- θ: الزاوية المحصورة بين القطرين ق1 و ق2 المتقاطعين عند مركز متوازي الأضلاع، والزاوية (θ) التي يتم استخدامها بالقانون هي أي زاوية تتكون عند نقطة تقاطع أقطار متوازي الأضلاع.
من الأمثلة على هذه الحالة ما يلي:
- مثال 1: إذا كانت أطوال أقطار متوازي أضلاع 5سم و 4سم، وكانت الزاوية المحصورة بينهما 60 درجة، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
- الحل: نستخدم قانون مساحة متوازي الأضلاع التالي:
- م = ½ × ق 1 × ق 2 × جا(θ)، ومنه:
- م = ½ × 5 × 4 × جا (60) = 17.32سم2.
- إذن مساحة متوازي الأضلاع = 8.66سم2.
- مثال 2: إذا علمنا أنّ طول القطر الأطول في متوازي الأضلاع يساوي 6سم والأقصر 4سم، وكانت الزاوية المحصورة بينهما تساوي 150 درجة، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
- الحل: نستخدم قانون مساحة متوازي الأضلاع السابق:
- م = ½ × ق 1 × ق 2 × جا(θ)، ومنه:
- م = ½ × 6 × 4 × جا (150) = 6سم2.
حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام ضلعين وزاوية محصورة بينهما
في هذه الحالة من حالات حساب مساحة متوازي الأضلاع عند معرفة أطوال ضلعين في متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهم، يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع عن طريق اتباع بعض الخطوات بالترتيب كما يلي:
- يتم تقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلّثين عن طريق رسم قطر يصل بين زاويتين متقابلتين فيه.
- اختيار أحد المثلثين من أجل استخدام ضلعيه والزاوية المحصورة بينهما.
- استخدام القانون:
- مساحة متوازي الأضلاع = طول ضلعين متجاورين فيه × جيب الزاوية المحصورة بين ضلعيه المتجاورين، وبالرموز:
- م = أ × ب × جا(θ)، حيث إنّ:
- م: مساحة متوازي الأضلاع بوحدة سم2.
- أ: طول أحد أضلاع متوازي الأضلاع وهو نفسه واحد من أضلاع المثلث الذي تمّ اختياره في الخطوة السابقة بوحدة سم.
- ب: طول الضلع المجاور للضلع أ بوحدة سم.
- θ: الزاوية المحصورة بين الضلع أ والضلع ب.
من الأمثلة على هذه الحالة ما يلي:
- مثال 1: إذا كان طول أحد ضلعيّ متوازي الأضلاع 6سم، والضلع المجاور له طوله 2سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 30 درجة، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
- الحل: باستخدام القانون السابق لحساب مساحة متوازي الأضلاع:
- م = أ × ب × جا(θ)، ومنه:
- م = 6 × 2 × جا (30) = 6 سم2.
- مساحة متوازي الأضلاع = 6 سم2.
- مثال 2: إذا كان طول الأضلاع المتوازية في متوازي الأضلاع 5سم و 3سم، وكانت الزاوية المحصورة بين كل ضلعين متجاورين تساوي 90 درجة، أوجد مساحة متوازي الأضلاع.
- الحل: باستخدام القانون السابق لحساب مساحة متوازي الأضلاع:
- م = أ × ب × جا(θ)، ومنه:
- م = 5 × 3 × جا (90) = 15سم2.
- مساحة متوازي الأضلاع = 15سم2.
